Що означає в математиці запис у = f(x)

Теорія:

Вивчаючи будь-який реальний процес, зазвичай звертають увагу на дві величини, що беруть участь в процесі (у більш складних процесах беруть участь не дві величини, а три, чотири і т.д., але ми поки такі процеси не розглядаємо): одна з них змінюється як би сама по собі, незалежно ні від чого (таку змінну ми позначили буквою x), а інша величина приймає значення, які залежать від вибраних значень змінної x (таку залежну змінну ми позначили буквою y).

Математичною моделлю реального процесу як раз і є запис на математичній мові залежності y від x, тобто зв'язку між змінними x і y.

Ще раз нагадаємо, що до цього моменту ми вивчили наступні математичні моделі:

1. y=b

2. y=kx

3. y=kx+m

4.  y=x2

 

Чи є у цих математичних моделей щось спільне? Є! Їх структура однакова: y=f(x)

 

Цей запис слід розуміти так:

мається вираз f(x) із змінною x, за допомогою якого знаходяться значення змінної y.

Математики воліють запис y=f(x) не випадково. Нехай, наприклад,f(x)=x2 , тобто мова йде про функцію y=x2 . Нехай нам треба виділити кілька значень аргументу і відповідних значень функції. До цих пір ми писали так:  

якщо x=1, то y=12=1;
якщо x=−3, то  y=(−3)2=9 і т. д.

 

Якщо ж використовувати позначення f(x)=x2, то запис стає більш економним: f(1)=12=1;f(−3)=(−3)2=9

 

Отже, ми познайомилися ще з одним фрагментом математичної мови: фраза "значення функції y=x2 в точці x=2 дорівнює 4" записується коротше: "якщо y=f(x), де f(x)=x2, то f(2)=4."

 

А ось зразок зворотного перекладу:

Якщо y=f(x), де f(x)=x2, то f(−3)=9 . По-іншому — значення функції y=x2 в точці x=−3 дорівнює 9.

 

Зрозуміло, замість букви \ (f \) можна використовувати будь-яку іншу букву (в основному, з латинського алфавіту): g(x), h(x), s(x) і т. д.

Джерела:

А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев Алгебра. 7 класс. М: 2009, 160 c.

Графічне рішення рівнянь

Теорія:

Підсумуємо наші знання про графіки функцій.

 

Ми з вами навчилися будувати графіки наступних функцій:

y=b (пряму, паралельну осі x);

y=kx (пряму, що проходить через початок координат);

y=kx+m (пряму);

y=x2 (параболу).

 

Знання цих графіків дозволить нам у разі необхідності замінити аналітичну модель геометричної (графічної), наприклад, замість моделі y=x2 (яка являє собою рівність з двома змінними x і y) розглядати параболу в координатної площині.

 

Зокрема, це іноді корисно для розв'язання рівнянь. Як це робиться, обговоримо на кількох прикладах.

Приклад:

Вирішити рівняння x2=x+2

Розглянемо дві функції: y=x2, y=x+2, побудуємо їх графіки і знайдемо точки перетину графіків.

 

 

Парабола  y=x2 і пряма y=x+2 перетинаються в точках A(−1;1) і B(2;4).

Як же знайти корені рівняння x2=x+2, тобто ті значення x, при яких вирази x2 і x+2 приймають однакові числові значення? Дуже просто, ці значення вже знайдені: x1=−1;x2=2. Це абсциси точок A і B, в яких перетинаються побудовані графіки.

Алгоритм графічного розв'язання рівнянь

1. Перетворити рівняння потрібним нам чином: у кожній частині повинні стояти такі графіки, які ми знаємо.

 

    

 

 

2. Побудувати в одній системі координат графіки функцій.

 

3. Знайти точки перетину графіків функцій.

 

4. Взяти з них значення абсцис.

 

  

 

 

Джерела:

А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев Алгебра. 7 класс. М: 2009, 158 c.

Квадратична функція і її графік

Теорія:

Функція y=x2 і її графік

Розглянемо функцію y=x2 і побудуємо графік її функції.
Дамо незалежній змінній x кілька конкретних значень і обчислимо відповідні значення залежної змінної y (за формулою y=x2)

 

якщоx=0,тоy=02=0;якщоx=1,тоy=12=1;якщоx=2,тоy=22=4;якщоx=3,тоy=32=9;якщоx=−1,тоy=(−1)2=1;якщоx=−2,тоy=(−2)2=4;якщоx=−3,тоy=(−3)2=9.

 

Ми склали таблицю:

x	0	1	2	3	−1	−2	−3
y	0	1	4	9	1	4	9

 

Побудуємо знайдені точки (0;0);(1;1);(2;4);(3;9);(−1;1);(−2;4);(−3;9) на координатної площині xOy.
Ці точки розташовані на деякій лінії, накреслимо її. Цю лінію називають параболою.

 

Зверни увагу!

Вісь y є віссю симетрії параболи y=x2 або що парабола симетрична щодо осі y. Вісь симетрії ніби розрізає параболу на дві частини, які зазвичай називають гілками параболи.

 

У параболи є особлива точка, в якій сходяться обидві гілки і яка лежить на осі симетрії параболи - точка \ ((0, 0) \). Дана точка називається вершиною параболи.

 

Зазвичай кажуть, що парабола торкається осі абсцис.

Властивості функції y=x2

1) y=0 при x=0; y>0 при x>0 и при x<0;

2) yнайм=0;yнайбне існує;

3) функція спадає на промені (−∞;0], функція зростає на промені [0;+∞).

Джерела:

А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев Алгебра. 7 класс. М: 2009, 152 c.