Визначення числової послідовності і способи її завдання

Теорія:

Функцію y=f(x),x∈N називають функцією натурального аргументу або числовою послідовністю і позначають: y=f(n), або y1,y2,...,yn,..., або y(n).

Послідовності можна задавати:

1. словесно

 коли правило послідовності описано словами, без вказівки формули;
послідовність простих чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...

2. аналітично

коли вказана формула її n-го члена;

Приклад:

1. yn=n2  

послідовність 1,4,9,16,...,n2,...

Кроки розв'язку:  n=1,2,3,...

y1=12=1y2=22=4y3=32=9y4=42=16y5=...

 

2. yn=5(yn=C) 

послідовність

5,5,5,...,5,...(C,C,C,...,C,...)

Кроки розв'язку:

y1=5;y2=5;y3=5;y4=...

Послідовність yn=C називають постійною або стаціонарною.

3. рекуррентно

 коли вказують правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі її попередні члени.

 

- Арифметична прогресія - (an), задана рекуррентно співвідношеннями: a1=a,an+1=an+d

 

- Послідовність Фібоначчі -в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел.

an+1=an+an−11,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

 

4.графічно

Графік послідовності складається з точок з абсцисами  1,2,3,4,...

 

Джерела:

Мордкович А.Г., Семенов П.В.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.

Поняття числової послідовності

Теорія:

 

Функції, область визначення яких є множиною натуральних чисел або його частиною, називаються числовими послідовностями. 

Приклад:

Числовою послідовністю є 1,3,5,7,9,....  

Числа, записані в послідовності, називаються членами послідовності. Зазвичай їх позначають маленькими літерами, наприклад, a1,a2,a3,...,an,..., де індекс 1,2,3,4,...,n,... після літери a вказує на порядковий номер кожного члена послідовності. 

Загальний вигляд послідовності, це (an) або  a1,a2,a3,...,an,....

an називається загальним членом послідовності або n-им членом, де n - порядковий номер члена послідовності.

 

У натуральних чисел, рахуючи від 1, десятий член послідовності, це a10=10.

  

Послідовність можливо задати, вказавши всі її члени або вказавши загальну формулу. Формула показує, як знайти будь-який член послідовності, якщо відомий порядковий номер n.

Приклад:

 У послідовності, де загальна формула an=3n, написати a) перші чотири члени; b) двадцятий член. 

 a) Якщо n=1, то замість n в формулу підставляється1:  a1=3⋅1=3 

                  a2=3⋅2=6

                  a3=3⋅3=9

                  a4=3⋅4=12  

b) Якщо n=20, то замість n  в формулу підставляється 20: a20=3⋅20=60.

Числова послідовність нескінченна, якщо замість n можна підставляти будь-які інші натуральні числа (нескінченну множину).

Джерела:

Мордкович А.Г.,Семенов П.В.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.

Ірраціональна нерівність

f(x)−−−−√<g(x)   (2)$$\sqrt{f(x)}<g(x)(2)$$

рівносильна системі нерівностей

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪f(x)≥0g(x)>0(f(x)−−−−√)2<(g(x))2   (3)$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ {(\sqrt{f(x)})}^2<{(g(x))}^2\end{array}(3)$$

6. Ірраціональна нерівність

f(x)−−−−√>g(x)   (4)$$\sqrt{f(x)}>g(x)(4)$$

рівносильна сукупності двох систем нерівностей

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪f(x)≥0g(x)≥0(f(x)−−−−√)2>(g(x))2$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ {(\sqrt{f(x)})}^2>{(g(x))}^2\end{array}$$	(5)$$(5)$$
{f(x)≥0g(x)<0$$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{array}$$

7. Показникова нерівність

af(x)>ag(x)   (6)$$a^{f(x)}>a^{g(x)}(6)$$

При a>1$a>1$ рівносильна нерівності

f(x)>g(x)   (7)$$f(x)>g(x)(7)$$

а при 0<a<1$0<a<1$ — нерівності

f(x)<g(x)   (8)$$f(x)<g(x)(8)$$

8. Логарифмічна нерівність

logaf(x)>logag(x)   (9)$${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)(9)$$

При a>1$a>1$ рівносильна системі нерівностей

⎧⎩⎨f(x)>0g(x)>0f(x)>g(x)   (10)$$\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ g(x)>0\\ f(x)>g(x)\end{array}(10)$$

а при 0<a<1$0<a<1$ — системі нерівностей

⎧⎩⎨f(x)>0g(x)>0f(x)<g(x)      (11)$$\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ g(x)>0\\ f(x)<g(x)\end{array}(11)$$

Джерело

• Збірник задач з математики за редакцією М.І.Сканаві (3-тє видання, Київ, 1996)