Рівняння та нерівності з параметром

Теорія:

Якщо рівняння f(x;a)=0 треба розв'язати відносно змінної x, а буквою a позначене довільне дійсне число, то f(x;a)=0 називають рівнянням з параметром a.

 

Розв'язати рівняння з параметром — означає знайти всі значення параметрів, при яких дане рівняння має рішення.

При одних значеннях параметра рівняння не має коренів, при інших — має нескінченно багато коренів, при третіх — рівняння вирішується за одними формулами, при четвертих — за іншими.

 

Усі ці випадки в ході рішення потрібно враховувати.

 

Рівняння з параметром можуть бути як лінійними, так і нелінійними.

Аналогічно визначаються і нерівності з параметром.
Розв'язати нерівність з параметром, значить, досліджувати яким буде рішення нерівності для всіх можливих значень параметра.

Розглянемо хід думок при рішенні деяких рівнянь і нерівностей з параметрами.

Приклад:

Розв'яжи рівняння (відносно x):

ax−1>3

 

Перетворюючи нерівність, отримаємо:

ax>4

 

Залежно від значення a, можливі три випадки рішення:

1) якщо a<0, то  

x<4a;x∈(−∞;4a)

 

2) якщо a=0, то x∈∅

 

3) якщо a>0, то

x>4a;x∈(4a;+∞)

Приклад:

Розв'яжи рівняння (відносно x):

2a⋅(a−2)⋅x=a−2

 

Розв'язуючи рівняння, можна помітити, що коефіцієнт при x може обернутися до 0 при певному значенні параметра a. Тому, залежно від значення a, можливі три випадки рішення:

  

1) якщо a=0, то рівняння набуде вигляду

0⋅x=−2,x∈∅

 

2) якщо a=2, то рівняння набуде вигляду

0⋅x=0,x∈R

 

3) якщо a≠0,a≠2, то коефіцієнт при x відмінний від 0 і на цей коефіцієнт можна розділити обидві частини рівняння. Отримаємо, що x=a−22a⋅(a−2)=12a

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.

Методи рішення систем рівнянь

Теорія:

Якщо поставлена задача — знайти такі пари значень (x;y), які одночасно задовольняють рівняння p(x;y)=0 і рівняння q(x;y)=0, то кажуть, що дані рівняння утворюють систему рівнянь

 

{p(x;y)=0,q(x;y)=0.

Пару значень (x;y), яка одночасно є рішенням і першого і другого рівнянь системи, називають рішенням системи рівнянь.

 

Розв'язати систему рівнянь — означає знайти всі її рішення або встановити, що рішень немає.

Може бути система і з трьох рівнянь з трьома змінними:

⎧⎩⎨⎪⎪p(x;y;z)=0,q(x;y;z)=0,r(x;y;z)=0.

Дві системи рівнянь називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті ж рішення або якщо обидві системи не мають рішень.

Для розв'язання систем рівнянь застосовують методи:

1. підстановки,

2. алгебраїчного додавання,

3. введення нових змінних,

4. графічний.

Приклад:

Розв'яжи систему рівнянь:

{3x=y+17y−2x+2=7⋅7y−4x+6{y=3x−173x−1−2x+2=7⋅73x−1−4x+6{y=3x−17x+1=7⋅7−x−1+6

 

У ході рішення підставили замість y вираз 3x−1, отримане з першого рівняння.

 

Введемо в другому рівнянні нову змінну

t=7x+1;7−x−1=7−(x+1)=t−1=1t

 

Розв'язуючи друге рівняння зі змінною t, отримаємо:

t=7t+6,t2−6t−7=0,t≠0t1=−1,t2=7

 

Повертаючись до введеного позначення t, розв'язуємо отримані рівняння і знаходимо x:

7x+1=t↙↘7x+1=−17x+1=7=71x∈∅x+1=1x=0

Знайдемо y, підставляючи замість x=0.

Отримаємо, що y=−1.

Розв'язок системи — пара чисел (0;−1).

У ході рішення були використані два методи: підстановки і введення нової змінної. 

Приклад:

Розв'яжи систему рівнянь:

{3x+2y=1,x−y=−3|⋅2+{3x+2y=1,2x−2y=−63x+2x+2y−2y=1+(−6)5x=−5x=−1{x=−1,x−y=−3{x=−1,y=2.

 

Для визначення рішення системи використовувалися методи алгебраїчного додавання і підстановки.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.