Рівняння та нерівності з параметром

Теорія:

Якщо рівняння f(x;a)=0 треба розв'язати відносно змінної x, а буквою a позначене довільне дійсне число, то f(x;a)=0 називають рівнянням з параметром a.

 

Розв'язати рівняння з параметром — означає знайти всі значення параметрів, при яких дане рівняння має рішення.

При одних значеннях параметра рівняння не має коренів, при інших — має нескінченно багато коренів, при третіх — рівняння вирішується за одними формулами, при четвертих — за іншими.

 

Усі ці випадки в ході рішення потрібно враховувати.

 

Рівняння з параметром можуть бути як лінійними, так і нелінійними.

Аналогічно визначаються і нерівності з параметром.
Розв'язати нерівність з параметром, значить, досліджувати яким буде рішення нерівності для всіх можливих значень параметра.

Розглянемо хід думок при рішенні деяких рівнянь і нерівностей з параметрами.

Приклад:

Розв'яжи рівняння (відносно x):

ax−1>3

 

Перетворюючи нерівність, отримаємо:

ax>4

 

Залежно від значення a, можливі три випадки рішення:

1) якщо a<0, то  

x<4a;x∈(−∞;4a)

 

2) якщо a=0, то x∈∅

 

3) якщо a>0, то

x>4a;x∈(4a;+∞)

Приклад:

Розв'яжи рівняння (відносно x):

2a⋅(a−2)⋅x=a−2

 

Розв'язуючи рівняння, можна помітити, що коефіцієнт при x може обернутися до 0 при певному значенні параметра a. Тому, залежно від значення a, можливі три випадки рішення:

  

1) якщо a=0, то рівняння набуде вигляду

0⋅x=−2,x∈∅

 

2) якщо a=2, то рівняння набуде вигляду

0⋅x=0,x∈R

 

3) якщо a≠0,a≠2, то коефіцієнт при x відмінний від 0 і на цей коефіцієнт можна розділити обидві частини рівняння. Отримаємо, що x=a−22a⋅(a−2)=12a

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.