Багатогранники

 

Частина геометрії, досліджувана досі, називається планіметрією — ця частина була про властивості плоских геометричних фігур, тобто фігур, цілком розташованих в деякій площині. Але оточуючі нас предмети в більшості не є плоскими. Будь-який реальний предмет займає якусь частину простору.

Розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі, називається стереометрією.

Це слово στερεομετρία походить від давньогрецьких слів «stereos» — об'ємний, просторовий і «metria» — вимір.
Найпростіші фігури стереометрії — точки, прямі і площини. З цих фігур утворені геометричні тіла і їх поверхні. 

Якщо поверхні геометричних тіл складені з багатокутників, то такі тіла називаються багатогранниками.

Багатокутники, з яких складений багатогранник, називаються його гранями. При цьому передбачається, що ніякі дві сусідні грані багатогранника не лежать в одній площині

 

Сторони граней називаються ребрами, а кінці ребер — вершинами багатогранника.

 

Відрізок, що сполучає дві вершини, які не належать одній грані, називається діагоналлю багатогранника.

 

Багатогранники бувають опуклими і неопуклими.

 

Опуклий багатогранник характеризується тим, що він розташований з одного боку від площини кожної своєї межі. На малюнку опуклий багатогранник — октаедр. У октаедра вісім граней, всі грані — правильні трикутники.

 

На малюнку — неопуклий (увігнутий) багатокутник. Якщо розглянути, наприклад, площину трикутника EDC, то, зрозуміло, частина багатокутника знаходиться з одного боку, а частина з іншого боку цієї площини.

 

Для подальших визначень введемо поняття паралельних площин і паралельних прямих в просторі і перпендикулярності прямої і площини.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

 

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

 

Пряму називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині.

Призма

Тепер можемо ввести визначення призми.

n-кутною призмою називають багатогранник, складений із двох рівних n-кутників, що лежать в паралельних площинах, і n-паралелограмів, які утворилися при з'єднанні вершин n-кутників відрізками паралельних прямих.

 

Рівні n-кутники називають основами призми.

 

Сторони багатокутників називають ребрами основ.

 

Паралелограми називають бічними гранями призми.

 

Паралельні відрізки називають бічними ребрами призми.

 

Призми бувають прямими і похилими.

 

Якщо основи прямої призми — правильні багатокутники, то таку призму називають правильною.

 

У прямих призм всі бічні грані — прямокутники. Бічні ребра прямої призми перпендикулярні до площин її основ.

 

Якщо з будь-якої точки однієї основи провести перпендикуляр до іншої основи призми, то цей перпендикуляр називають висотою призми.

 

 

На малюнку похила чотирикутна призма, в якій проведена висота B1E.

У прямій призмі кожне з бічних ребер є висотою призми.

 

 

На малюнку пряма трикутна призма. Всі бічні грані — прямокутники, будь-яке бічне ребро можна називати висотою призми. У трикутної призми немає діагоналей, так як всі вершини з'єднані ребрами.

 

На малюнку — правильна чотирикутна призма. Основи призми — квадрати. Всі діагоналі правильної чотирикутної призми рівні, перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.

Чотирикутна призма, основи якої — паралелограми, називається паралелепіпедом.

Вище згадану правильну чотирикутну призму можна також називати прямим паралелепіпедом.

 

Якщо основи прямого паралелепіпеда — прямокутники, то цей паралелепіпед — прямокутний.

  

 

На малюнку — прямокутний паралелепіпед. Довжини трьох ребер із загальною вершиною називають вимірами прямокутного паралелепіпеда.

 

Наприклад, AB, AD і AA1 можна називати вимірами.

 

Так як трикутники ABC і ACC1 — прямокутні, то, отже, квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів:

AC12=AB2+AD2+AA12

  

Якщо через відповідні діагоналі основ провести переріз то його називають діагональним перерізом призми.
У прямих призмах діагональні перерізи є прямокутниками. Через рівні діагоналі проходять рівні діагональні перерізи.

 

 

На малюнку — правильна шестикутна призма, в якій проведені два різні діагональних перерізи, які проходять через діагоналі з різними довжинами.

Основні формули для розрахунків у прямих призмах

1. Бічна поверхня Sбіч.=Pосн.⋅H, де H — висота призми. Для похилих призм площа кожної бічної грані визначається окремо.

 

2. Повна поверхня Sповн.=2⋅Sосн.+Sбіч.. Ця формула справедлива для всіх призм, не тільки для прямих.

 

3. Об`єм V=Sосн.⋅H. Ця формула справедлива для всіх призм, не тільки для прямих.

Піраміда

n-кутна піраміда — багатогранник, складений з n-кутника в основі і n-трикутників, які утворилися при з'єднанні точки вершини піраміди з усіма вершинами багатокутника основи.

n-кутник називають основою піраміди.

Трикутники — бічні грані піраміди.
Загальна вершина трикутників — вершина піраміди.
Ребра, що виходять з вершини — бічні ребра піраміди.
Перпендикуляр від вершини піраміди до площини основи називають висотою піраміди.

 

 

На малюнку шестикутна піраміда GABCDEF, проведена висота піраміди GH.

 

Піраміду, в основі якої правильний багатокутник і висота з'єднує вершину піраміди з центром правильного багатокутника, називають правильною.

 

У правильної піраміди всі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Якщо провести висоти цих трикутників, то вони також будуть рівні.

 

Висоту бічної грані правильної піраміди називають апофемою.

 

 

На малюнку правильна чотирикутна піраміда. Висота піраміди KO проведена від вершини K до центру основи O.

 

Висота бічної грані KN — апофема.

 

Якщо у правильної трикутної піраміди всі бічні грані — рівносторонні трикутники (рівні з основою), то таку піраміду називають правильним тетраедром:

ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп

 

 

Якщо у багатокутника в основі є діагоналі, то через ці діагоналі і вершину піраміди можна провести діагональний переріз.

 

 

На малюнку проведено діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди.

Основні формули для розрахунків у правильних пірамідах

1. Бічна поверхня Sбіч.=Pосн.⋅h2, де h — апофема. Для пірамід, які не є правильними, необхідно визначити окремо поверхню кожної бічної грані.

 

2. Повна поверхня Sповн.=Sосн.+Sбіч.. Ця формула справедлива для всіх пірамід, не тільки для правильних.

 

3. Об'єм V=13⋅Sосн.⋅H, де H — висота піраміди. Ця формула справедлива для всіх пірамід, не тільки для правильних.