Модуль вектора

Довжина спрямованого відрізка визначає числове значення вектора і називається довжиною або модулем вектора.

Дано вектор AB−→−=(x;y).

 

 

З теореми Піфагора випливає, що в трикутнику ABC довжина відрізка AB, яка є модулем вектора AB−→−, дорівнює AC2+CB2−−−−−−−−−−√ і отже, модуль (довжина) вектора AB−→− розраховується за формулою ∣∣AB−→−∣∣=x2+y2−−−−−−−√. 

Приклад:

Обчисли довжину вектора AB−→−=(5;3)

Розв'язок: ∣∣AB−→−∣∣=52+32−−−−−−−√=34−−√

Відстань між двома точками

Як відомо, координати вектора можна визначити, якщо дано координати початкової і кінцевої точки вектора A(x1;y1) і B(x2;y2).

 

AB−→−(x2−x1;y2−y1)

 

 

Якщо x=x2−x1, y=y2−y1 і ∣∣AB−→−∣∣=x2+y2−−−−−−−√, то в місце \ (x \) і \ (y \) можна поставити їх вирази.

 

Нову формулу називають не лише формулою довжини вектора, а й
формулою відстані між двома точками із заданими координатами

|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Так як вирази в дужках у квадраті, то справедливо, що

|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

 

Тобто не важлива послідовність координат у різниці.

 

Зверни увагу!

Якщо дано координати початкової і кінцевої точки вектора A(x1;y1) і B(x2;y2), то AB−→−(x2−x1;y2−y1).

Обов'язково з координат кінцевої точки треба віднімати координати початкової точки!

Але при визначенні довжини вектора у формулі послідовність координат не має значення:

∣∣AB−→−∣∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√