Координатна пряма

Теорія:

Пряму l, на якій обрано початкову точку О (початок відліку), масштаб (одиничний відрізок, тобто відрізок, довжина якого вважається рівною 1) і додатний напрямок, називають координатною прямою або координатною віссю.

 

 

Кожному числу на координатній прямій відповідає єдина точка.

 

Наприклад, числу 2 відповідає точка А, яка віддалена від початку відліку, тобто від точки О, на відстань, рівну 2 (у заданому масштабі), і відкладена від точки О в заданому (додатному) напрямку.
Числу −2 відповідає точка М, яка віддалена від початку відліку, тобто від точки О, на відстань, рівну 2 (у заданому масштабі), і відкладена від точки О в від'ємному напрямку, тобто в напрямку, протилежному заданому.

      

 

 

Правильно і зворотне, тобто точка N, віддалена від точки О на відстань 3,5 в додатному (заданому) напрямку, відповідає числу 3,5, а точка М, віддалена від точки О на відстань 2 в від'ємному напрямку, відповідає числу −2.

 

Зазначені числа називають координатами відповідних точок.

Так,   точка A имеет координату 2;

          точка N має координату 3,5;

          точка М має координату −2;

          точка О має координату 0.

Записуємо це так: A(2); N(3,5); М(−2); О(0).

 

Можна знайти відстань між двома точками на координатній прямій. Маємо дві точки: A(a) і B(b). Відстань AB=|a−b|.

Використовуючи цю формулу, отримаємо

AN=|2−3,5|=|−1,5|=1,5AM=|2−(−2)|=|2+2|=4

 

Координатна пряма дає можливість вільно переходити з алгебраїчної мови на геометричну й назад.

 

1. Нехай на координатній прямій відзначено точку a.
Зазначимо (зафарбуємо) на координатній прямій усі точки, розташовані праворуч від точки a.

 

Цю множину точок (чисел) називають відкритим проміжком і позначають(a;+∞).

Це характеризується нерівністю x>a, де x — будь-яка точка відкритого проміжку.
Якщо точку a приєднати до відкритого проміжку, то вийде проміжок.

Проміжок позначаємо [a;+∞) і характеризуємо нерівністю x≥a.

 

 

2. Зазначимо (зафарбуємо) на координатної прямої усі точки, розташовані ліворуч від точки a,

отриману множину точок (чисел) також називають відкритим проміжком, позначають (−∞;a) і характеризують нерівністю x<a.

Якщо точку a приєднати до відкритого проміжку, то також вийде проміжок.

Проміжок позначаємо (−∞;a] і характеризуємо нерівністю x≤a.

 

 

3. Відзначимо на координатній прямій точки a і b, причому a<b (тобто точка a розташована на прямій ліворуч від точкиb).

 

Отриману множину точок (чисел) називають інтервалом, позначають (a;b) і характеризують подвійною нерівністю a<x<b.
Якщо до інтервалу (a;b) додати його кінці,

,

то вийде відрізок [a;b], який характеризується нестрогою подвійною нерівністю a≤x≤b.

 

 

4. Якщо до інтервалу (a;b) додати один з його кінців

 

(праворуч або ліворуч),

то вийде напівінтервал, який позначають [a;b) чи (a;b] і характеризують за допомогою подвійних нерівностей: a≤x<b і a<x≤b.

 

Отже, введено п'ять нових термінів: проміжок, відкритий проміжок, інтервал, відрізок, напівінтервал. Загальна їх назва — числові проміжки.
Сама координатна пряма — також числовий проміжок, який позначають

(−∞;+∞).

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра.  7 класс.

В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

М.: Мнемозина, 2009.