Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Теорія:

Рівняння виду ax+by+c=0, де a,b,c — числа (коефіцієнти), називається лінійним рівнянням з двома зміннимиx і y.

 

Розв'язком рівняння ax+by+c=0 називають будь-яку пару чисел (x;y), яка задовольняє цьому рівнянню, тобто перетворює рівність зі змінними ax+by+c=0 на правильну числову рівність.

Приклад:

 

Зобразити розв'язок лінійного рівняння з двома змінними x+y−3=0точками в координатній площини xOy.

 

Підберемо кілька розв'язків заданого рівняння, тобто кілька пар чисел, які задовольняють рівняння: (3,0),(2;1),(1,2),(0,3),(4;−1).

 

Побудуємо в координатній площини xOy ці точки.
Усі вони лежать на одній прямій t.

 

Пряма t є графіком рівняння x+y−3=0 або
пряма t є геометричною моделлю цього рівняння.

 

Отже, якщо пара чисел (x; y) задовольняє рівнянню

ax+by+c=0, то точка М(x;y) належить прямійt.

І навпаки, якщо точка М(x;y) належить прямій t, то пара чисел (x;y) задовольняє рівнянню ax+by+c=0.

 

Справедлива така теорема:

Якщо хоча б один з коефіцієнтів a,b лінійного рівняння ax+by+c=0 відмінний від нуля, то графіком рівняння служить пряма лінія.

  

Алгоритм побудови графіка рівняння ax+by+c=0, де a≠0,b≠0

 

1. Надати змінній x конкретне значення x=x1; і з рівняння

ax1+by+c=0 знайти відповідне значення y=y1.

2. Надати змінній x інше значення x=x2; і з рівняння

ax2+by+c=0 знайти відповідне значення y=y2.

3. Побудувати на координатній площині xOy точки: (x1;y1)(x2;y2)

4. Провести через ці дві точки пряму — вона і буде графіком рівняння

ax+by+c=0

 

Приклад:

Побудувати графік рівняння x−2y−4=0.

Будемо діяти за алгоритмом.
1. Нехай x=0, тоді отримаємо:

 

0−2y−4=0,−2y=4,y=4:(−2)y=−2

 

2. Нехай y=0, тоді отримаємо:

x−2⋅0−4=0x−4=0x=4

 

3. Побудуємо на координатній площині xOy отримані точки:

(0;−2) і (4;0)

 

4. Проведемо через ці точки пряму.

 

 

 

Вона і буде графіком лінійного рівняння x−2y−4=0.

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра.  7 класс.

В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений

М.: Мнемозина, 2009.