Арксинус і рівняння sin x=a

Рівняння sinx=a 

Якщо |a|>1, то рівняння sinx=a  не має коренів.

Наприклад, рівняння sinx=2 не має коренів.

 

Якщо |a|≤1, токорені рівняння виражаються формулою  x=(−1)karcsina+πk,k∈Z

Що ж таке arcsina? Арксинус в перекладі з латинської означає дуга і синус. Це зворотна функція.

Якщо  |a|≤1, то arcsina (арксинус a) - це таке число з відрізка [−π2;π2], синус якого дорівнює  a.

Інакше кажучи:

arcsina=x⇒sinx=a,|a|≤1,x∈[−π2;π2]

Розглянемо цю теорію на прикладі.

Приклад:

Знайти arcsin12

Вираз arcsin12  показує, що синус кута x дорівнює 12 , тобто sinx=12.

Далі просто знаходимо точку цього синуса на числовому колі, що і є відповіддю:

 

точка12, що знаходиться на осі y,  відповідає точці π6 на числовому колі.
Отже,arcsin12=π6

Зверни увагу!

Якщо sinπ6=12, то arcsin12=π6

У першому випадку по точці на числовому колі знаходимо значення синуса, а в другому - навпаки, за значенням синуса знаходимо точку на числовому колі. Рух у зворотний бік. Це і є арксинус.

Теорема. Для будь-якого a∈[−1;1] справедлива формула arcsin(−a)=−arcsina

  

Окремі випадки:
1. sinx=0⇒x=πk,k∈Z

2. sinx=1⇒x=π2+2πk,k∈Z

3.sinx=−1⇒x=−π2+2πk,k∈Z

Приклад:

 

Розв'язати рівняння sinx=−12

 

Використаємо формулу x=(−1)karcsina+πk,k∈Z 

 

і отримаємо відповідь x=(−1)k(−π6)+πk,k∈Z

Джерела:

А. Г. Мордкович Алгебра і початки математичного аналізу 10 - 11 класи, 1 частина. М: 2009, 92 c.