Рівняння та нерівності з двома змінними

Теорія:

Рішенням рівняння з двома змінними p(x;y)=0 називають всяку пару чисел (x;y), яка обертає рівняння в правильну числову рівність. 

Рівняння з двома змінними зазвичай має нескінченно багато рішень.

Приклад:

Рівнянню x2+y2=9 задовольняє будь-яка пара (x;y) така, що точка координатної площини M(x;y) належить окружності радіусом 3 з центром у початку координат.

Якщо дано ціле раціональне рівняння з декількома змінними і цілочисельними коефіцієнтами і якщо поставлено завдання знайти його цілочисельні (або раціональні) рішення, то говорять, що задано діофантове рівняння.

Приклад:

Знайти цілочисельні рішення рівняння 3x+4y=19

Виразимо x з даного рівняння: x=19−4y3

При подільності числа y на 3 можуть бути три можливості:

1) y=3k,

2) y=3k+1,

3) y=3k+2.

 

Якщо y=3k, то отримаємо 19−4y=19−4⋅3k=19−12k. Це число на 3 не делится, т.к. 12k ділиться на 3, а 19 не ділиться на 3.

Якщо y=3k+1, то отримаємо 19−4y=19−4⋅(3k+1)=19−12k−4=15−12k=3⋅(5−4k).

Це число на 3 ділиться.

Якщо y=3k+2, то отримаємо 19−4y=19−4⋅(3k+2)=19−12k−8=11−12k. Це число на 3 не ділиться.

 

Отже, єдина можливість цілочисельного рішення рівняння є пара чисел (5−4k;3k+1), де k — будь-яке ціле число.

Рішенням нерівності  p(x;y)>0 називають всяку пару чисел (x;y), яка задовольняє цій нерівності, тобто обертає її в правильну числову нерівність.

Приклад:

Розв'язати нерівність 2x+3y>0.

Побудуємо графік рівняння 2x+3y=0 — пряму.

Рішенням нерівності є точки напівплощини вище або нижче побудованої прямої.
Для правильного визначення потрібної напівплощини виберемо будь-яку точку з неї, координати якої підставимо в таку нерівність.

 

Якщо нерівність буде вірною, то напівплощина вибрана вірно.

 

 

Вибравши контрольну точку (1;1) з верхньої напівплощини, отримаємо правильну числову нерівність:  2⋅1+3⋅1>0

Значить, рішенням даної нерівності є верхня напівплощина.

 

Аналогічно можна міркувати при рішенні системи нерівностей з двома змінними.

Розв'язати систему нерівностей з двома змінними — значить знайти множину всіх таких точок координатної площини, координати яких задовольняють одночасно всім нерівностям системи.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.