Дослідження опуклості і перегину графіку функції

Теорія:

1. Дослідження випуклості графіка функції

Графік функції f(x) має на (a,b) випуклість, направлену вниз (вгору), якщо він розташований не нижче (не вище) будь-якої дотичної до графіка функції на (a,b).

 

Якщо функція f(x) має на інтервалі (a,b) другу похідну і f''(x)≥0

(f''(x)≤0) у всіх точках (a,b), то графік функції f(x) має на (a,b) випуклість, спрямовану вниз (вгору).

 

Приклад:

Визначити випуклості функції f(x)=x3+x.

 

Друга похідна цієї функції, це f''(x)=6x. Вона від'ємна, якщо x<0, додатна, якщо x>0.

Отже,  графік f(x) в інтервалі (−∞;0) має випуклість, спрямовану вгору і в інтервалі (0;+∞) має випуклість, спрямовану вниз.

2. Знаходження точок перегину функції  

Щоб визначити точки перегину функції f(x), потрібно знайти точки, в яких друга похідна цієї функції є нулем або не існує (і які належать області визначення функції). Тоді можна визначити знак другої похідної функції у відповідних інтервалах - обчисливши значення другої похідної в будь-якій точці інтервалу.

Якщо друга похідна функції в точці змінює знак, ця точка є точкою перегину, якщо не міняє, не є точкою перегину.

Приклад:

Розглянемо функцію f(x)=x3+x.

 

Друга похідна цієї функції, це f''(x)=6x. Вона від'ємна, якщо x<0, і додатна, якщо x>0. Отже, в точці x=0 друга похідна змінює знак і ця точка - точка перегину функції.

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.