Шукати в цьому блозі

четвер, 18 лютого 2016 р.

Зворотне рівняння


Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Алгебраїчні рівняння виду:
a_{0}x^{2n+1} + a_{1}x^{2n} + a_{2}x^{2n - 1} + ... + a_{n}x^{n+1} + {\lambda}a_{n}x^{n} + {\lambda}^{3}a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + {\lambda}^{2n - 1}a_{1}x + {\lambda}^{2n+1}a_{0} = 0, \qquad(1)
a_{0}x^{2n} + a_{1}x^{2n-1} + a_{2}x^{2n - 2} + ... + a_{n-1}x^{n+1} + a_{n}x^{n} + {\lambda}a_{n-1}x^{n-1} + {\lambda}^{2}a_{n - 2}x^{n - 2} + ... + {\lambda}^{n - 1}a_{1}x + {\lambda}^{n}a_{0} = 0 \qquad(2)
називаються зворотними, де \lambda\  — фіксоване число і a_{0} \neq 0. При {\lambda}=1 такі рівняння називають симетричними.

Розв'язання

Зворотне рівняння непарного степеня (1) завжди має корінь x=-{\lambda} , оскільки це рівняння завжди можна переписати у вигляді
a_{0}(x^{2n+1} + {\lambda}^{2n+1}) + a_{1}x(x^{2n-1} + {\lambda}^{2n-1}) + ... + a_{n-1}x^{n-1}(x^{3} + {\lambda}^{3}) + a_{n}x^{n}(x + {\lambda})= 0.
Після ділення лівої частини на x+{\lambda} отримаємо зворотне рівняння парного степеня.
Для розв'язку рівняння парного степеня поділимо (2) на x^{n} , оскільки x=0 не є його коренем, і згрупувавши члени отримаємо:
a_{0}\left (x^{n} + \left(\frac{{\lambda}}{x} \right)^{n} \right) + a_{1}\left (x^{n-1} + \left (\frac{{\lambda}}{x} \right)^{n-1} \right) + ... + a_{n-1}\left (x + {{\lambda}\over x} \right) + a_{n}= 0 \qquad(3).
Зробимо заміну t = {x + {{\lambda} \over x}}, після чого отримаємо наступні вирази:
x^2 + \left(\frac{{\lambda}}{x} \right)^{2} = t^2 - 2{\lambda},
x^3 + \left(\frac{{\lambda}}{x} \right)^{3} = \left(x + {{\lambda}\over x}\right)^{3} -3{\lambda}\left(x + {{\lambda}\over x}\right) = t^3 - 3{\lambda}t,
x^4 + \left(\frac{{\lambda}}{x} \right)^{4} = \left(x + {{\lambda}\over x}\right)^{4} -4{\lambda}\left(x^2 + {{\lambda}^2\over x^2}\right) - 6{\lambda}^2 = t^4 - 4{\lambda}t^2 + 2{\lambda}^2,
і т. д., тоді рівняння (3) степеня 2n відносно x запишемо у вигляді рівняння степеня n відносно t . Тепер якщо вдасться розв'язати отримане рівняння, то знайдуться всі корені рівняння (2).
Опубліковано о
Мітки:

Немає коментарів:

Дописати коментар

Примітка: лише член цього блогу може опублікувати коментар.

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)