Арифметична прогресія

Послідовність, в якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число d, називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (an) є арифметичною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність  an+1 = an + d

Число d називається різницею арифметичної прогресії.

Якщо відомий перший член арифметичної прогресії a1 и різниця d, тоді можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 +2 d 

a4 = a3 + d = a1 +3 d

і т.д.  

n-ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (n−1) різниць, тобто,

an = a1 + d(n−1),

де n - порядковий номер члена прогресії, a1- перший член прогресії, d- різниця.

Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.

Її використовують, щоб обчислити n-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1 =0 і d =2. 

Написати:

a) перші п'ять членів прогресії;

b) десятий член прогресії.  

a. Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю:

                  a2 = a1 + d =0+2=2

  

                  a3 = a2 + d =2+2=4

  

                  a4 = a3 + d =4+2=6

  

                  a5 = a4 + d =6+2=8

  

b. Використовується загальна формула an = a1 + d(n−1)  

Якщо n=10, тоді замість n до формули підставляється 10:  

a10 = a1 + 2⋅(10−1)  

a10 =0+2⋅9  

a10 =18=18    

Сума перших n членів арифметичної прогресії  

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:

Sn = (a1+an)⋅n2, де n - число членів послідовності.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1 =0 і d =2. 

Написати суму перших п'яти членів послідовності.

  

Sn = (a1+an)⋅n2, де n=5 і an = a5 =8 (з попереднього прикладу)

  

S5 = (a1+a5)⋅52 = (0+8)⋅52 = 20

 Джерело:https://miyklas.com.ua/