Розв’язування трикутників

Теорема косинусів

У будь-якому трикутнику всі три його сторони і кут між двома з них мають властивість, яка виражається в теоремі косинусів:

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Якщо в трикутнику три сторони позначити як a, b, c, і протилежні їм кути відповідно α, β, γ , то справедливими є співвідношення:

. . . З теореми косинусів випливає, що квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін плюс мінус подвоєний добуток однієї зі сторін на проекції другої сторони. Якщо протилежний кут гострий, то беремо знак мінус, якщо протилежний кут тупий, беремо знак плюс.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим.

Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим.

З теореми косинусів випливає формула косинуса будь-якого кута трикутника:

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

.

. За допомогою теореми косинусів можна довести теорему про діагоналі паралелограма:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін.