Коло і дотична

Теорія:

У площині пряма і коло можуть перетинатися або не перетинатися. При перетині можуть мати одну або дві спільні точки.

 

1. Якщо відстань від центру кола до прямої більше радіуса, то у прямої та кола спільних точок немає.

 

 

2. Якщо відстань від центру кола до прямої менше радіуса, то у прямої та кола дві спільні точки.

 

 

У цьому випадку пряму називають січною окружності.

Якщо пряма має дві спільні точки з колом, то вона називається січною.

3. Якщо відстань від центру кола до прямої дорівнює радіусу, то у прямої та кола одна спільна точка.

 

 

У цьому випадку пряму називають дотичною до кола.

Дотичною до кола називається пряма, що має з колом одну спільну точку.

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику.

 

Припустимо, що радіус OA не перпендикулярний до прямої, але є похилій. Тоді з точки O можна провести перпендикуляр до прямої, який буде коротшим радіусу. А це означає, що відстань від центру кола до прямої менше радіуса, і у прямої та кола повинні бути дві спільні точки. Але це суперечить даної інформації, наше припущення невірно.

Якщо з точки до кола проведено дві дотичні, то
а) довжини відрізків дотичних від цієї точки до точки дотику рівні;
б) пряма, що проходить через центр кола і цю точку, ділить кут між дотичними навпіл.

 

Нехай AB та AC — дотичні до кола з центром O.

Потрібно довести, що AB=AC та OA є бісектрисою кута A.

 

Трикутники OBA та OCA — прямокутні, так як дотичні перпендикулярні до радіусів в точках B та C. Сторона OA — спільна. Катети OB та OC рівні як радіуси одного і того ж кола. Трикутники рівні за гіпотенузою та катетом, звідси рівні і катети AB та AC та кути BAO і CAO, тобто ділить кут по навпіл.