Правильні багатокутники

Теорія:

Правильними називають багатокутники, у яких рівні всі сторони і всі кути.

На малюнку видно деякі правильні багатокутники: трикутник, чотирикутник (квадрат), п'ятикутник і шестикутник.

 

 

Якщо в правильних опуклих багатокутниках провести діагоналі, то утворюються правильні увігнуті багатокутники:
з діагоналей п'ятикутника виходить пентаграма, з діагоналей шестикутника гексаграма, а з діагоналей семикутника навіть дві різні гептаграми:

 

 

Якщо провести всі діагоналі з однієї вершини, будь-який n-кутник можна розділити в n−2 трикутника, таким чином сума всіх внутрішніх кутів визначається за формулою 180°⋅(n−2).

 

Так як всі кути правильного n-кутника рівні, то величина одного внутрішнього кута дорівнює 180°⋅(n−2)n.

Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати і вписати в нього коло, при цьому збігаються центри обох кіл, і цю точку називають центром багатокутника.

 

Вписана окружність стосується всіх сторін, описана окружність проходить через всі вершини.

 

 

∡AOH=360°n;∡AOK=360°2n=180°n

 

У трикутнику AOK пов'язані сторона a (половина сторони AK), радіус описаного кола OA=R і радіус вписаного кола OK=r.

 

a2=R⋅sin180°n;a=2R⋅sin180°n;R=a2sin180°na2=r⋅tg180°n;a=2r⋅tg180°n;r=a2tg180°nr=R⋅cos180°n;R=rcos180°n

 

Так як n-кутник складається з n трикутників рівних AOH, то

 

Sn−уг.=n⋅SAOK=n⋅AH⋅r2=p⋅r2

 

Для правильного трикутника і квадрата додатково в силі всі формули, які були розглянуті в курсі геометрії.