Системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими як математичні моделі різних ситуацій

Теорія:

Реальна ситуація може бути описана математичною мовою у вигляді математичної моделі, тобто системи двох лінійних рівнянь з двома змінними.

 

Розв'язання завдання можна розділити на етапи — кроки розв'язання:

 

Перший етап. Складання математичної моделі. Другий етап. Робота зі складеною моделлю. Третій етап. Відповідь на питання завдання.

 

Завдання можуть бути на різні ситуації й теми, розглянемо одне з можливих.

 

Приклад:

Завдання.

Якщо чисельник дробу помножити на 2 а від знаменника відняти 2, то вийде 2.
Якщо ж від чисельника відняти 4, а знаменник помножити на 4, то вийде  12.

Знайди цей дріб.

 

Розв'язання.
Перший етап. Складання математичної моделі. Нехай чисельник дробу дорівнює x, а знаменник дробу — y.
Якщо чисельник дробу помножити на 2, а від знаменника відняти 2, то чисельник нового дробу дорівнюватиме 2x, а знаменник нового дробу дорівнюватиме \ (y-2 \).
Знаючи, що новий дріб дорівнюватиме 2, складемо перше рівняння:

2xy−2=2.

Якщо ж від чисельника відняти 4, а знаменник помножити на 4,
то дістанемо друге рівняння:

x−44y=112.

Складаємо систему:

⎧⎩⎨⎪⎪2xy−2=2x−44y=112.

 

Другий етап. Робота зі складеною моделлю. Перетворимо рівняння системи і розв'яжемо методом алгебраїчного додавання.

⎧⎩⎨⎪⎪2xy−2=2x−44y=112⇔{2x=2(y−2)|:24y=12(x−4)|:4⇔{x=y−2y=3(x−4)⇔{x−y=−2−3x+y=−12+{x−y=−2−3x+y=−12¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−2x=−14|:(−2)x=7¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

 

Підставимо значення x−7 в будь-яке рівняння системи, наприклад у друге, і знайдемо y.

−3x+y=−12−3⋅7+y=−12−21+y=−12y=−12+21y=9¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯.

 

Третій етап. Відповідь на питання завдання. Повернемося до позначень: чисельник дробу — x, а знаменник дробу — y. Дістаємо дріб79.

Відповідь: 79.