Синус, косинус і тангенс кута

Теорія:

В системі координат побудуємо півколо радіусом 1 з центром у початку координат.

 

 

Як вже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилеглого катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута визначається як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

 

У трикутнику AOX:

sinα=AXAO;cosα=OXAO

Так як радіус півкола R=AO=1, то sinα=AX;cosα=OX.

Довжина відрізка AX дорівнює величині координати y точки A, а довжина відрізка OX дорівнює величині координати x точки A:

 A(cosα;sinα).

Отже, для кутів 0°≤α≤180° видно, що −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

 

У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилеглого катета до прилеглого катета, а, значить,  

tgα=AXOX=sinαcosα

Використовуючи одиничне півколо і розглянуту інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0°;90°;180°.

 

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0sin90°=1;cos90°=0;tg90° не існуєsin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0

 

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику \ (AOX \). Якщо разом вони утворюють 90°, то обидва виразимо через α:

 

 

Якщо sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin(90°−α)=OXAO;cos(90°−α)=AXAO.

 

Бачимо, що справедливі рівності:

cos(90°−α)=sinαsin(90°−α)=cosα

 

Розглянемо тупий кут, який також виразимо через α:

 

 

Справедливі наступні рівності:

sin(180°−α)=sinαcos(180°−α)=−cosα

Ці формули називаються формулами зведення:

 

cos(90°−α)=sinαsin(90°−α)=cosα

 

sin(180°−α)=sinαcos(180°−α)=−cosα

Якщо в трикутнику AOX застосувати теорему Піфагора, отримуємо AX2+OX2=1. Замінивши відрізки відповідно синусом і косинусом, ми напишемо 

Головну тригонометричну тотожність

sin2α+cos2α=1

Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо дано косинус
(як уже зазначено, синус для кутів 0°≤α≤180° тільки 0 або додатний):

 

sin2α+cos2α=1sin2α=1−cos2αsinα=1−cos2α−−−−−−−−−−√ 

 

або величину косинуса кута, якщо дано синус:

 

sin2α+cos2α=1cos2α=1−sin2αcosα=±1−sin2α−−−−−−−−−−√

 

Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.