Вектор в системі координат

Теорія:

Згадаймо, що при множенні вектора на число k≠0 ми отримуємо два колінеарних (паралельних) вектори, які або співнапрямлені, якщоk>0, або протилежно напрямлені, якщо k<0. Довжини векторів відрізняються у k разів.

Справедливе і зворотне судження.

Якщо ненульові вектори колінеарні, то обов'язково можна знайти число k≠0 так, що b⃗ =k⋅a⃗ .

Для неколінеарних векторів справедливе судження, що кожен вектор на площині можна представити у вигляді c⃗ =k⋅a⃗ +m⋅b⃗ . Кажуть, що вектор c⃗  розкладений за векторами a⃗  і b⃗ , а числа k і m називають коефіцієнт розкладання.

Це справедливо для будь-якого вектора на площині, причому коефіцієнти визначаються єдиним чином.

Оберемо два не колінеарних вектора на вісях системи координат. Нехай довжина кожного з них буде дорівнювати одиничному відрізку в цій системі координат. Ці вектори називають координатними векторами і позначають i⃗  і j⃗ .

 

 

Якщо від початку координат відкласти вектор a⃗ , то його можна розкласти за векторами i⃗  і j⃗  наступним чином a⃗ =3⋅i⃗ +2⋅j⃗ .

У цьому розкладанні коефіцієнти координатних векторів називають координатами вектора a⃗ .

Це записують як a⃗ {3;2}.

 

Будь-який вектор, який дорівнює вектору a⃗  можна перемістити і відкласти від початку координат. Отже, можемо зробити висновок.

Рівні вектори мають рівні координати.

Але в той же час в координатній системі можна перемістити вектори i⃗  і j⃗ , таким чином визначити координати векторів незалежно від їх місця розташування в координатній системі.

 

Легко зрозуміти, що різниця між абсциссами (координатами x) кінцевої і початкової точки вектора і є абсциса вектора, а різниця між ординатами (координатами y) кінцевої і початкової точки вектора є ордината вектора.

 

Зв'язок між координатами протилежних векторів випливає з того, що, якщо помножити вектор на −1, результатом буде протилежний вектор.

У протилежних векторів протилежні координати.

Важливо зрозуміти ще кілька цікавих зв'язків між координатами векторів однакової довжини.