Рівносильність нерівностей

Теорія:

Рішенням нерівності f(x)>g(x) називають всяке значення змінної x, яке обертає задану нерівність зі змінною в правильну числову нерівність.

Термін рішення використовують в трьох значеннях: як загальне рішення, як приватне рішення і як процес.

 

Визначення 1. 

Дві нерівності з однією змінною f(x)>g(x) і p(x)>h(x) називають рівносильними, якщо їхні рішення (тобто множини приватних рішень) збігаються.

Використання знака > непринципово, може бути будь-який інший знак нерівності як включного, так і невключного.

 

Визначення 2.

Якщо рішення нерівності f(x)>g(x)      (1)

міститься в рішенні нерівності  p(x)>h(x),    (2)

то нерівність (2) називають наслідком нерівності (1).

Нерівність x2>9 є наслідком нерівності 2x>6. Справді, розв'язавши кожну нерівність, отримаємо:

x2−9>0(x−3)⋅(x+3)>0x∈(−∞;−3)∪(3;+∞)           і                                2x>6x>3x∈(3;+∞)

 

 

Розв'язок другої нерівності є частиною рішення першої, тому перша нерівність — наслідок другої нерівності. 

 

Рішення нерівностей, що зустрічаються в шкільному курсі, грунтується на шести теоремах про рівносильність:

Теорема 1.

Якщо який-небудь член нерівності перенести з однієї частини нерівності в іншу з протилежним знаком, залишивши знак нерівності без зміни, то вийде нерівність, рівносильна даній.

Теорема 2.

Якщо обидві частини нерівності піднести до одного і того ж непарного степеня, залишивши знак нерівності без зміни, то вийде нерівність, рівносильна даній.

Теорема 3.

Показникова нерівність af(x)>ag(x) рівносильна:

 

а) нерівності того ж змісту f(x)>g(x), якщо a>1;

б) нерівності протилежного змісту f(x)<g(x), якщо 0<a<1

Теорема 4.

a) Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на один і той же вираз h(x), позитивний при всіх x з області визначення (області допустимих значень змінної) нерівності f(x)>g(x), залишивши при цьому знак нерівності без зміни, то вийде нерівність f(x)⋅h(x)>g(x)⋅h(x), рівносильна даній.

 

б) Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на один і той же вираз h(x), негативне при всіх x з області визначення нерівності f(x)>g(x), змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде нерівність f(x)⋅h(x)<g(x)⋅h(x), рівносильна даній.

Теорема 5.

Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) невід'ємні в області його визначення (в ОДЗ), то після зведення обох частин нерівності в один і той же парний степінь n вийде нерівність того ж змісту f(x)n>g(x)n, рівносильна даній.

Теорема 6.

Якщо f(x)>0 і g(x)>0, то логарифмічна нерівність logaf(x)>logag(x) рівносильна:

 

а) нерівності того ж змісту f(x)>g(x), якщо a>1;

б) нерівності протилежного змісту f(x)<g(x), якщо 0<a<1.     

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.