Функціонально-графічний метод

Теорія:

Для графічного рішення рівняння f(x)=g(x), потрібно побудувати графіки функцій y=f(x) і y=g(x), а потім знайти точки їх перетину.

Коренями рівняння служать абсциси цих точок.

Цей метод дозволяє визначити число коренів рівняння, вгадати значення кореня, знайти наближені, а іноді і точні значення коренів.
У деяких випадках побудову графіків функцій можна замінити посиланням на будь-які властивості функцій.

Якщо, наприклад, одна з функцій y=f(x), y=g(x) зростає, а інша спадає, то рівняння  f(x)=g(x) або не має коренів, або має один корінь (який іноді можна вгадати).

Назвемо ще один різновид функціонально-графічного методу:

якщо на проміжку X найбільше значення однієї з функцій y=f(x), y=g(x) дорівнює А і найменше значення іншої функції теж дорівнює  А, то рівняння f(x)=g(x) на проміжку X рівносильне системі рівнянь {f(x)=Ag(x)=A

Приклад:

Розв'язати рівняння

x√=|x−2|

Побудуємо графіки функцій y=x√ і y=|x−2| в одній координатній площині.

 

 

Ці графіки перетинаються в точках A(1;1) і B(4;2). Отже, рівняння має два кореня: x1=1,x2=4.

Відповідь: 1;4.

Приклад:

Розв'язати рівняння

x5+5x−42=0

Перетворимо рівняння до виду x5=42−5x. При рішенні даного рівняння немає необхідності в побудові графіків, якщо зауважити, що функція y=x5 зростає, а функція y=42−5x спадає. Отже, рівняння має тільки один корінь. Це x=2. Дійсно, перевіряючи 25+5⋅2−42=0  отримаємо правильну числову рівність.

Відповідь: 2.

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.