Рішення рівняння методом введення нової змінної

Теорія:

Метод введення нової змінної:

 

1. в рівнянні якась його частина замінюється іншою змінною (a,y,t,...) 

    (колишнє невідоме одночасно з новим в рівнянні бути не може);

  

2. вирішується нове рівняння;

  

3. повертаються до позначеного і, використовуючи отримане число (корені), обчислюється необхідне невідоме.

 

Приклад:

Розв'яжи рівняння (2x−21)2−5(2x−21)+4=0.

 

Це рівняння можна розв'язати і без використання нової змінної (розкриваються дужки за формулою різниці квадратів і т.д.), але рішення буде довгим і з великими числами.
Використаємо те, що обидві дужки рівні.

 

Позначаємо 2x−21=y. Виходить просте квадратне рівняння:

 

y2−5y+4=0за теоремою Вієтаy1=4y2=1

 

Повертаємося до позначеного:

1) 2x−21=4     2x=25     x=12,5

2) 2x−21=1     2x=22      x=11

Відповідь: x=12,5;x=11

Методом введення нової змінної вирішуються біквадратні рівняння:

ax4+bx2+c=0,деa,b,c∈Rx2=yay2+by+c=0

У біквадратних рівняннях завжди використовується нова змінна.   Виходить квадратне рівняння.

  

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

 

x4−13x2+12=0x2=y,тодіy2−13y+12=0y1=12y2=11)x2=12x=±12−−√=±23√2)x2=1x=±1Відповідь:{−23√;−1;23√;1}

 

Яку заміну можна використовувати в цьому рівнянні?

 

4x2+10+5x2+11=2Намагаємося вигідно позначити4x2+10+5x2+10+1=2x2+10=y4y+5y+1=2