Арифметична прогресія

Теорія:

Послідовність, в якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число d, називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (an) є арифметичною прогресією, то для будь-якого натурального значення n справедлива залежність  an+1=an+d

Число d називається різницею арифметичної прогресії.

Якщо відомий перший член арифметичної прогресії a1 и різниця d, то можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+2d 

a4=a3+d=a1+3d

і т.д.  

n-ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (n−1) різниць, тобто,

an=a1+d(n−1),

де n - порядковий номер члена прогресії, a1- перший член прогресії, d- різниця.

 

Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.

Її використовують, щоб обчислити n-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), Якщо відомі перший член послідовності і різниця.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1=0 і d=2. 

Написати:

a) перші п'ять членів прогресії;

b) десятий член прогресії.  

 

a. Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю:

                  a2=a1+d=0+2=2

  

                  a3=a2+d=2+2=4

  

                  a4=a3+d=4+2=6

  

                  a5=a4+d=6+2=8

  

b. Використовується загальна формула an=a1+d(n−1)  

Якщо n=10, то замість n до формули підставляється 10:  

a10=a1+2⋅(10−1)  

a10=0+2⋅9  

a10=18

  

Сума перших n членів арифметичної прогресії  

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:

Sn=(a1+an)⋅n2, де n - число членів послідовності.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1=0 і d=2. 

Написати суму перших п'яти членів послідовності.

  

Sn=(a1+an)⋅n2, де n=5 і an=a5=8 (з попереднього прикладу)

  

S5=(a1+a5)⋅52=(0+8)⋅52=20