Геометрична прогресія

Теорія:

Послідовність (bn), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число q, називається геометричною прогресією.

Якщо послідовність (bn) є геометричною прогресією, то для будь-якого натурального значення n справедлива залежність: bn+1=bn⋅q

  

Число q називається знаменником геометричної прогресії.

Якщо у геометричній прогресії (bn) відомий перший член b1 і знаменник q, то можливо знайти будь-який член прогресії.

b2=b1⋅q

b3=b2⋅q=b1⋅q⋅q=b1⋅q2

b4=b1⋅q3

і т.д.

 

Загальний член геометричної прогресії bn можна обчислити, використовуючи формулу:

bn=b1⋅qn−1, де 

n- порядковий номер члена прогресії,

b1- перший член послідовності,

q- знаменник.

Приклад:

Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження n-го члена, якщо b1=8 і q=0,5.

b1=8

  

b2=b1⋅q=8⋅0,5=4

  

b3=b2⋅q=4⋅0,5=2

  

b4=b3⋅q=2⋅0,5=1

  

b5=b4⋅q=1⋅0,5=0,5

 

bn=b1⋅qn−1

  

bn=8⋅0,5n−1

  

Сума перших n членів геометричної прогресії

  

Суму перших n членів геометричної прогресії Sn можна знайти, якщо обчислити її члени b1, b2, ..., bn і потім їх значення додати.

  

Обчислюючи суму перших n членів геометричної прогресії, зручніше використовувати
1-у формулу:

Sn=bnq−b1q−1,  де 

n- кількість членів послідовності (порядковий номер),

b1- перший член послідовності,

bn- n-ий член послідовності, 

q- знаменник.  

 

Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2-у формулу:

Sn=b1(qn−1)q−1

Приклад:

Обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо b1=8 і q=0,5.  

 

I варіант

Розглянувши перший приклад, бачимо:

b1=8, b2=4, b3=2, b4=1 і b5=0,5.

Додавши п'ять цих чисел, вийде сума (перших п'яти членів послідовності):

Sn=S5=b1+b2+b3+b4+b5=8+4+2+1+0,5=15,5

  

II варіант

Використовується 1-а формула:

Sn=bnq−b1q−1, де

n=5

b1=8

q=0,5

bn=b5=0,5     (так як n=5)

  

S5=(0,5⋅0,5−8)(0,5−1)=15,5

  

III варіант

Використовується 2-а формула:  

Sn=b1(qn−1)q−1

  

S5=8⋅(0,55−1)0,5−1=З 15,5 

 

Як бачите, всі три варіанти розв'язання призводять до одного й того ж результату.  

Сума перших п'яти членів прогресії дорівнює S5=15,5.