Поняття комбінаторики

Теорія:

Комбінаторика — розділ математики про обчислення кількості різних комбінацій будь-яких елементів.

В завданнях з комбінаторики зазвичай потрібно з'ясувати, чи можливо скласти комбінацію певного виду і скільки різних комбінацій можна скласти.

 

Приклад:

1. Скільки різних тризначних номерів телефону можна скласти з п'яти цифр? (Відповідь: 125)

 

2. Скількома різними способами можна скласти танцювальну пару, якщо в колективі 3 хлопчика і 4 дівчинки? (Відповідь: 12).

 

3. Скількома різними способами можна утворити пару чергових, якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра? (Відповідь: 6).

 

4. Скількома різними способами можна вибрати двох учнів (одного - чистити дошку, другого - підмітати підлогу), якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра? (Відповідь: 12)

Один зі способів вирішення задач комбінаторики - це розглянути всі можливі комбінації елементів, що називається повним перебором варіантів.

 

Деревоподібна діаграма

Деревоподібна діаграма — один зі способів показати і систематизувати всі розміщення. За допомогою деревовидної діаграми здійснюється повний перебір.

Скільки різних двозначних чисел можна скласти з цифр 1, 2 і 3, якщо кожну використовувати тільки один раз?
рішення:
Складається деревоподібна діаграма:

Відповідь: можна скласти 6 різних чисел.

 

Приклад:

Розглянемо 3-й приклад (див. вище):
Скількома різними способами можна утворити пару чергових, якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра?

 

На деревоподібній діаграмі видно, що можна утворити тільки 6 пар чергових (Надя і Віка, Надя і Саша, Надя та Юра, Віка і Саша, Саша і Юра, Віка і Юра), т.к. кожна пара повторюється 2 рази.

 

Розглянемо 4-й приклад:
Скількома різними способами можна вибрати двох учнів (одного - чистити дошку, другого - підмітати підлогу), якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра?

 

Використовується та ж деревоподібна діаграма, але в даному випадку відповідь буде 12 пар, тому що кожна пара з діаграми відрізняється. Якщо дітей поміняти місцями, вони виконують вже інші функції.

За допомогою деревоподібної діаграми були отримані різні результати, тому що в 3 і 4 прикладі були розглянуті різні види комбінацій: поєднання і розміщення.

 

Такого роду діаграми в подробицях зручно малювати тільки для невеликого числа варіантів, а, наприклад, для сотень комбінацій дерево варіантів цілком не намалюєш. Тоді доводиться діяти по-іншому. Найчастіше при різних підрахунках використовують правило множення:

 

Для того щоб знайти число всіх можливих результатів незалежного проведення двох випробувань А і В, слід перемножити число всіх результатів випробування А і число всіх результатів випробування В. 

Таблиця

В окремих випадках для систематизації даних складаються таблиці комбінацій.
Простий ігровий кубик кидається 2 рази і отримані пункти перемножуються. Скільки різних творів можна отримати?

 

	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

 

 

Різні добутки - це 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36 —  всього 18 різних результатів.

Джерела:

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. М. : Мнемозина, 2010. —224 с.