Факторіал

Теорія:

Використовуючи закон множення, часто потрібно обчислити добутки натуральних чисел по черзі, починаючи з 1.
Наприклад, 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 і т. д. Не завжди важливо обчислити числовий добуток. Щоб можна було коротше записати вирази такого виду, в математиці використовується знак "!".

Добуток всіх натуральних чисел від 1 до n називається факторіалом числа n і записується n! (читається як "ен факторіал»).

n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Прийнято, що 0!=1  

1!=1

2!=2⋅1=2

3!=3⋅2⋅1=6

4!=4⋅3⋅2⋅1=24

5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120

6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720

 

Приклад:

1. Обчисли значення виразу.

a) 5!+4!=5⋅4⋅3⋅2⋅1+4⋅3⋅2⋅1=120+24=144

 

b) 7!−5!4!=7⋅6⋅5⋅4!−5⋅4!4!=5⋅4!(42−1)4!=5⋅41=205  (4! виноситься за дужки. У дробі рівні факторіали можна скорочувати.)

  

c) 80!79!+59!58!=80⋅79!79!+59⋅58!58!=80+59=139

 

Кожен більший факторіал можна виразити меншим факторіалом, тобто,
n!=n(n−1)!=n(n−1)(n−2)!=n(n−1)(n−2)(n−3)! і т.д.

 

Приклад:

2. Скороти дріб.

(n+1)!(n−1)!=(n+1)n(n−1)!(n−1)!=(n+1)n(n−1)!(n−1)!=(n+1)n

 

 

3. Спрости вираз.

 n+2(n−1)!−2n+3n!=n+2\n(n−1)!−2n+3n(n−1)!=n2+2n−2n−3n(n−1)!=n2−3n!

 

При збільшенні значення n, значення n! Стрімко зростає. Знак факторіала зручно використовувати, якщо потрібно записувати великі числа.

 

Приклад:

Скількома різними способами можна скласти список учнів, якщо в ньому має бути 25 різних учнів?

 

1⋅2⋅3⋅...⋅24⋅25=25!

 

Відповідь: Список можна скласти 25! Різними способами.

Джерела:

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. М. : Мнемозина, 2010. —224 с.