Границя функції на нескінченності

Теорія:

Розглянемо кілька видів запису границі функції на нескінченності.

1. Дана функція y=f(x), в області визначення якої міститься промінь [a;+∞), і нехай пряма y=b є горизонтальною асимптотой графіка функції y=f(x).
У цьому випадку використовується запис: limn→+∞f(x)=b (читають: границя функції y=f(x) при приближенні x до плюс нескінченності дорівнює b).

2.  Якщо дана функція y=f(x), в області визначення якої міститься промінь (−∞;a], і пряма y=b є горизонтальною асимптотой графіка функції y=f(x), то в цьому випадку використовується запис: limn→−∞f(x)=b

читають: границя функції y=f(x) при приближенні x до мінус нескінченності дорівнюєн b).

3. Якщо одночасно виконуються співвідношення:

limn→+∞f(x)=b і limn→−∞f(x)=b, то можна об'єднати їх одним записом:

limn→±∞f(x)=b. Але зазвичай використовують більш економний запис: limn→∞f(x)=b

(читають: границя функції  y=f(x) при приближенні x до нескінченності дорівнюєн b). 

У цьому випадку пряма y=b є горизонтальною асимптотой графіка функції y=f(x) ніби з двох сторін.

    Обчислення границі функції на нескінченності здійснюється за тими ж правилами, що і обчислення границі послідовності. Наведемо їх (з відповідними змінами).

1. Для будь-якого натурального показника m і будь-якого коефіцієнта k справедливе співвідношення:

limn→∞kxm=0.

2. Якщо limn→∞f(x)=b, limn→∞g(x)=c, то

а) границя суми дорівнює сумі границь:

lim(n→∞f(x)+g(x))=b+c;

б) границя добутку дорівнює добутку границь:
lim(n→∞f(x)g(x))=bc;

в) границя частки дорівнює частці границь (зрозуміло, за умови, що c≠0):

limn→∞ f(x)g(x)=bc;

г) постійний множник можна винести за знак границі:
lim(n→∞kf(x))=kb.

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.