Границя функції в точці

Теорія:

Розглянемо функцію, графік якої зображений на малюнку:


Для заданого випадку границя функції y=f(x) при наближенні x до a дорівнює b. Записують: limx→af(x)=b

Змістовне значення наведеного вище запису полягає в наступному:
якщо значення аргументу вибираються все ближче і ближче до значення x=a, то значення функції все менше і менше відрізняються від граничного значення b.

Можна сказати й так:
в досить малому окрузі точки a справедливо наближена рівність f(x)≈b (причому це наближена рівність тим точніша, чим менший округ вибирається).

При цьому, підкреслимо, сама точка x=a виключається з розгляду.

Функцію y=f(x) називають безперервною в точці x=a, якщо виконується співвідношення:

limx→af(x)=f(a)

 Іншими словами, функцію  y=f(x) називають безперервною в точці x=a, якщо границя функції y=f(x) при наближенні x до a дорівнює значенню функції в точці x=a.

Функцію y=f(x) називають безперервною на проміжку X, якщо вона неперервна в кожній точці проміжку.

Eсли вираз f(x) складено з раціональних, ірраціональних, тригонометричних і зворотних тригонометричних виразів, то функція y=f(x) неперервна в будь-якій точці, в якій визначено вираз f(x).

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.