Геометричний зміст похідної

Теорія:

Похідна функції в точці x0 дорівнює коефіцієнту напрямку дотичної функції f(x) в точці (x0;f(x0)).

 

Доказ.

Дотична графіка функції в точці  M0 описується як пряма, до якої спрямована пряма MM0, якщо точка M переміщається за графіком функції, прямуючи до точки M0. Позначимо точку M0 як (x0;f(x0)) (див. рисунок).

 

Коефіцієнт напрямку прямої MM0 дорівнює тангенсу кута ∢MM0N:

kMM0=tg∢MM0N=MNM0N=f(x0+Δx)−f(x0)Δx

Наближення точки M до точки M0 - те ж саме, що наближення приросту аргументу Δx до нуля.

 

Нарешті, використовуючи визначення похідної, виходить, що коефіцієнт напрямку дотичної дорівнює похідній функції у відповідній точці.

k=limM→M0kMM0=limx→x0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f'(x0)