Визначення похідної функції

Теорія:

Границя відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу наближається до нуля (і ця межа існує), називається похідною цієї функції. 

y'=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx

(Часто замість f(x+Δx)−f(x) пишеться Δy.)

Тож, limΔx→0ΔyΔx=f′(x).

Іноді використовуються позначення f'(x) або dydx.

Приклад:

1) (x+13)'=limΔx→0(x+Δx+13)−(x+13)Δx=limΔx→0ΔxΔx=limΔx→01=1

 

 

2)(1x)'=limΔx→01x+Δx−1xΔx=limΔx→0xx(x+Δx)−x+Δxx(x+Δx)Δx==limΔx→0−Δxx(x+Δx)Δx=limΔx→0−1x(x+Δx)=−1x2

 

Фізичний (механічний) зміст похідної полягає в наступному. Якщо s(t) - закон прямолінійного руху тіла, то похідна виражає миттєву швидкусть в момент часу t:

v=s′(t).

Геометричний зміст похідної полягає в наступному. Якщо до графіка функції y=f(x) в точці з абсцисою x=a можна провести дотичну, непаралельну осі y, то f′(a) виражає кутовий коефіцієнт дотичної:

k=f′(a).

Оскільки k=tgα, то правильна рівність f′(a)=tgα.

Алгоритм знаходження похідної для функції y=f(x)

1. Зафіксувати значення x, знайти f(x).

2. Дати аргументу x приріст Δx, перейти в нову точку x+Δx, знайти f(x+Δx).

3. Знайти приріст функції: Δy=f(x+Δx)−f(x).

4. Скласти відношення ΔyΔx.

5. Обчислити limΔx→0ΔyΔx. Ця границя і є f′(x) .

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.