Задачі, що приводять до поняття похідної

Теорія:

Задача 1 (про швидкість руху). По прямій, на якій задані початок відліку, одиниця виміру (метр) і напрям, рухається деякий тіло (матеріальна точка). Закон руху заданий формулою s=s(t), де t - час (у секундах), s(t) - положення тіла на прямій (координата рухомої матеріальної точки) в момент часу t по відношенню до початку відліку (в метрах). Знайти швидкість руху тіла в момент часу t (в м/с).

Розв'язання . Припустимо, що в момент часу t тіло перебувало в точці M.

Дамо аргументу t приріст Δt і розглянемо ситуацію в момент часу t+Δt. Координата матеріальної точки стане іншою, тіло в цей момент буде знаходитися в точці P:OP=s(t+Δt).

 Отже, за Δt секунд тіло перемістилося з точки M в точку P. Маємо: MP=OP−OM=s(t+Δt)−s(t). Отриману різницю ми назвали приростом функції: s(t+Δt)−s(t)=Δs. Тож, MP=Δs(м). Неважко знайти середню швидкість vср руху тіла за проміжок часу [t;t+Δt]: vср=ΔsΔt (м/с).

 А що таке швидкість v(t) в момент часу t (її називають миттєвою швидкістю)? Можна сказати так: це середня швидкість руху за проміжок часу [t;t+Δt] за умови, що Δt вибирається все менше і менше; точніше: за умови, що Δt→0. Це означає, що v(t)=limΔt→0vср.

Отже,

v=limΔt→0ΔsΔt

Задача 2 (про дотичну до графіка функції). Дан графік функції y=f(x). На ньому обрана точка M(a;f(a)), в цій точці до графіка функції проведена дотична (ми припускаємо, що вона існує). Знайти кутовий коефіцієнт дотичної.

Розв'язання. Дамо аргументу прирощення Δx і розглянемо на графіку точку P з абсцисою a+Δx. Ордината точки P дорівнює f(a+Δx). Кутовий коефіцієнт січної MP, тобто тангенс кута між січною і віссю x, обчислюється за формулою kсек=ΔyΔx.

Якщо ми тепер спрямуємо Δx до нуля, то точка \ (P \) почне наближатися по кривій до точки \ (M \). Дотичну ми охарактеризували як граничне положення січної при цьому наближенні. Значить, можна вважати, що кутовий коефіцієнт дотичної kкас=limΔx→0kсек буде обчислюватися по формулі kкас=limΔx→0kсек. Використовуючи наведену вище формулу для kсек, отримуємо:

kкас=limΔx→0ΔyΔx

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.