Невизначеності зі степенями

Теорія:

Припустимо, що потрібно обчислити границю limx→ag(x)h(x).

У такому випадку можливі ці 3 варіанти:

1. обидві функції g(x) і h(x) наближуються до нуля - невизначеність 00;

2. функція g(x) наближується до нескінченності, а функція h(x) наближуються до нуля - невизначеність ∞0;

3. функція g(x) наближується до одного, а функція h(x)  наближується до нескінченності - невизначеність 1∞.

 

У цих випадках потрібно використовувати перетворення limx→ag(x)h(x)=elimx→a(h(x)⋅lng(x)), обчислити границю, що знаходиться в показнику степеня (справляючись з невизначеністю 0⋅∞) і тоді підносити до степеня.

Приклад:

 

1. Невизначеність 00:

limx→+0xx=elimx→+0(xlnx)=...limx→+0xlnx=limx→+0lnx1x=(00)=limx→+0(lnx)'(1x)'==limx→+01x−1x2=limx→+0−x=0limx→+0xx=elimx→+0(xlnx)=e0=1

 

2. Невизначеність 1∞:

limx→0(1+x)1x−sinx=elimx→0ln(1+x)x−sinx=...limx→0ln(1+x)x−sinx=(00)=limx→0(ln(1+x))'(x−sinx)'=limx→011+x1−cosx=(1+0)=+∞limx→0(1+x)1x−sinx=(e+∞)=+∞

 

3. Невизначеність ∞0:

limx→+0(−lnx)x=elimx→+0(xln(−lnx))=...limx→+0(xln(−lnx))=limx→+0ln(−lnx)1x=(00)=limx→+0(ln(−lnx))'(1x)'==limx→+01−lnx⋅(−1x)−1x2=limx→+0(−xlnx)=−limx→+0xlnx=(00)==−limx→+0x'(lnx)'=−limx→+011x=−limx→+0x=0limx→+0(−lnx)x=e0=1