Рівняння дотичної до графіка функції

Теорія:

Нехай дано функція y=f(x) і точка M(a;f(a)); нехай відомо, що існує f′(a).
Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функції в заданій точці.
Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд y=kx+m, тому завдання полягає в знаходженні значень коефіцієнтів k і m.

Відомо, що k=f′(a). Для обчислення значення m скористаємося тим, що шукана пряма проходить через точку M(a;f(a)).
Це означає, що якщо підставити координати точки M в рівняння прямої, отримаємо правильну рівність f(a)=ka+m, тобто m=f(a)−ka.

Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів k і m в рівняння прямої:

y=kx+my=kx+(f(a)−ka)y=f(a)+k(x−a)y=f(a)+f′(a)(x−a).

Нами отримано рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в точці x=a.

Алгоритм складання рівняння дотичної до графіка функції y=f(x)

1. Позначити абсциссу точки дотику буквою a.

2. Обчислити f(a).

3. Знайти f′(x) і обчислити f′(a).

4. Підставити знайдені числа a, f(a), f′(a) в формулу y=f(a)+f′(a)(x−a).

Для функції y=f(x), що має похідну у фіксованій точці x, справедлива наближена рівність Δy≈f′(x)⋅Δx

або, докладніше, f(x+Δx)−f(x)≈f′(x)⋅Δx.

Для зручності подальших міркувань змінимо позначення: замість x будемо писати a, замість x+Δx будемо писати x і, відповідно, замість Δx будемо писати x−a. Тоді написана вище наближена рівність набуде вигляду:

f(x)−f(a)≈f′(a)(x−a) абоf(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)

Cмисл наближеної рівності в тому, що в якості наближеного значення функції в точці x беруть значення ординати дотичної в тій же точці.

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. -429с.