Диференціювання складної функції. Диференціювання оберненої функції.

Теорія:

Нехай функція u=g(x) визначена на множині X і U - область її значень.
Нехай, далі, функція y=f(u) визначена на множині U.
Поставимо у відповідність кожному x із X число f(g(x)).
Тим самим на множині X буде задана функція y=f(g(x)).
Її називають композицією функцій або складною функцією.

Якщо відома похідна функції f(x), то похідну складної функції f(u) можна обчислити за допомогою наступної формули:

(f(u))'=f'(u)⋅u'

 

Приклад:

1) Обчислити похідну функції (x+2)10. Позначимо u=x+2.

Так як (x10)'=10x9, то((x+2)10)'=(u10)'=10u9⋅u'=10(x+2)9⋅1=10(x+2)9

 

2)  Обчислити похідну функції f(x)=sin(cosx). Позначимо u=cosx.

(sinx)'=cosx, тому

(sin(cosx))'=(sinu)'=cosu⋅u'==cos(cosx)⋅(cosx)'==cos(cosx)⋅(−sinx)==−cos(cosx)⋅sinx

 

3) Обчислити похідну функції lncosx2. Позначимо u=cosx2.

(lnx)'=1x, тому (lncosx2)'=(lnu)'=1u⋅u'=u'u=(cosx2)'cosx2.

Таким же чином обчислимо похідну функції cosx2. Знову позначимо u=x2.

(cosx2)'=(cosu)'=−sinu⋅u'=−sinx2⋅(x2)'=−2xsinx2.

Далі, вставивши отриманий вираз, виходить

 (lncosx2)'=−2xsinx2cosx2=−2xtgx2

Використовуючи правило диференціювання складної функції, можна обґрунтувати правило диференціювання оберненої функції.

Знаючи похідну функції y=f(x), можна похідну зворотної функції x=g(y) знайти за формулою:

xy′=1yx′

(зрозуміло, за умови, що f′(x)≠0).

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.