Поняття і обчислення похідної n-го порядку

Теорія:

Похідна функції f(x), f′(x) , сама є функцією. Отже, можна знайти її похідну.

 

Назвемо f′(x) похідною функції f(x) першого порядку.

 

Похідна від похідної функції f(x) називається похідною другого порядку (або другою похідною).

 

Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку (або третьою похідною) і т.д.

 

Похідні, починаючи з другої, називаються похідними вищих порядків і позначаютьсяy''(інодіy(2)),y'''(інодіy(3)),y(4),y(5),...,y(n),....

Іноді використовуються позначення dydx,d2ydx2,d3ydx3,...,dnydxn,....

Прискорення є друга похідна координати за часом. У цьому полягає механічний зміст другої похідної.

Похідна n - го порядку є похідною (n−1) порядку: y(n)=(y(n−1))'.

(Сама функція іноді вважається похідною 0 - го порядку.)

Приклад:

y=x5y'=(x5)'=5x4y''=(y')'=(5x4)'=20x3y(3)=(y'')'=(5⋅4x3)'=60x2y(4)=(y(3))'=(60x2)'=120xy(5)=(y(4))'=(120x)'=120y(6)=y(7)=y(8)=...=0

 

(ex)'=ex, тому всі похідні функції y=ex дорівнюють:

y'=y''=y(3)=y(4)=y(5)=...=ex

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.