Правила диференціювання

Теорія:

Теорема 1.

Якщо функції y=f(x) і y=g(x) мають похідну в точці x, то і їх сума має похідну в точці x, причому похідна суми дорівнює сумі похідних:

(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)

Теорема 2.

Якщо функція y=f(x) мають похідну в точці x, то і функція y=kf(x) має похідну в точці x, причому:

(kf(x))′=kf′(x)

Теорема 3.

Якщо функції y=f(x) і y=g(x) мають похідну в точці x, то і їх добуток має похідну в точці x, причому:

(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)

На практиці цю теорему формулюють так:

похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох доданків; перший доданок є добуток похідною першої функції на другу функцію, а другий доданок є добуток першої функції на похідну другої функції.

Якщо функції y=f(x) і y=g(x) мають похідну в точці x і в цій точці g(x)≠0, то і функція y=f(x)g(x) має похідну в точці x, причому:
(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g2(x)

Коротше:
(k1u+k2v)'=k1u'+k2v'(uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v−uv'v2

Приклад:

u=x2v=sinx1.(2x2−3sinx)'=2(x2)'−3(sinx)'=2⋅2x−3cosx=4x−3cosx2.(x2sinx)'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx3.(x2sinx)'=(x2)'sinx−x2(sinx)'(sinx)2=2xsinx−x2cosxsin2x

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.