Обчислення границь послідовностей

Теорія:

Формули обчислення границь послідовностей:
1. limn→∞1n=0
2. limn→∞qn=0,|q|<1
3. limn→∞C=C, тобто границя стаціонарної послідовності дорівнює значенню будь-якого члена послідовності.

4. Якщо limn→∞xn=b, limn→∞yn=c, то

          4.1. границя суми дорівнює сумі границь:

          limn→∞(xn+yn)=b+c,

          4.2. границя добутку дорівнює добутку границь:

          limn→∞(xn⋅yn)=b⋅c,

          4.3. границя частки дорівнює частці границь:

          limn→∞xnyn=bc, якщо c≠0,

          4.4. постійний множник можна винести за знак межі:

          limn→∞kxn=kb.

5. Для будь-якого натурального показника m і будь-якого коефіцієнта k справедливе співвідношення limn→∞knm=0.

Приклад:

1. Знайти границю послідовності:
xn=2n−5n2+3
Застосувавши правило "границя суми", отримаємо:
limn→∞(2n−5n2+3)=limn→∞2n−limn→∞5n2+limn→∞3=0−0+3=3
2. Обчисліть limn→∞2n2+3n2+4

У подібних випадках застосовують штучний прийом: ділять чисельник і знаменник дробу почленно на найвищу з наявних степінь змінної n. У даному прикладі розділимо чисельник і знаменник дробу почленно на n2. Отримаємо:

limn→∞2n2n2+3n2n2n2+4n2=limn→∞2+3n21+4n2=

Далі скористаємося правилом "границя дробу (частки)":
=2+01+0=21=2
Отже: limn→∞2n2+3n2+4=2.

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.