Властивості збіжних послідовностей

Теорія:

Властивість 1. Якщо послідовність сходиться, то лише до однієї границі.

 

Властивість 2. Якщо послідовність сходиться, то вона обмежена.

 

Властивість 3. (Теорема Вейерштрасса)

Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона сходиться.

 

Наведемо класичний приклад з геометрії, в якому використовується теорема Вейерштрасса.

 

Візьмемо коло і будемо послідовно вписувати в неї правильні багатокутники:

4-кутник, 8-кутник, 16-кутник і т. д. Послідовність площ цих правильних багатокутників зростає і обмежена (знизу числом 0,а зверху, наприклад, числом, що виражає площу описаного навколо окружності квадрата).

 

Отже, побудована послідовність сходиться, її границя приймається за площу круга.

 

Саме за допомогою таких міркувань і отримана в математиці формула площі кола

S=πr2. 

Джерела:

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.