Визначення границі послідовності

Теорія:

Число b називають границею послідовності (yn), якщо в будь-якій заздалегідь обраній окрузі точки b містяться всі члени послідовності, починаючи з деякого номера.

Пишут.:

yn→b або limn→∞yn=b.

Пояснення до даного визначення:

Окружністю точки b радіуса r1 є інтервал  (b−r1;b+r1), (r1>0).

Візьмемо інтервал (b−r1;b+r1), тобто, окружність точки b; r1 — радіус цієї окружності (r1>0). Існує номер n1 починаючи з якого вся послідовність міститься у зазначеному окрузі: yn1∈(b−r1;b+r1),yn1+1∈(b−r1;b+r1),yn1+2∈(b−r1;b+r1) і т.д.

Приклад:

Дана послідовність (yn):

1,12,13,14,...,1n,...

Довести, що limn→∞1n=0

Розв'язок.

Возмем будь-яку округу точки 0, нехай її радіус дорівнює r.

Ясно, що завжди можна підібрати натуральне число n0, так щоб виконувалася нерівність 1n0<r.

Якщо, r=0,001, то в якості n0 можна взяти 1001, оскільки 11001<0,001, і т.д.

Це означає, що член послідовності (yn) з номером n0, тобто yn0, потрапляє в обрану окружність точки 0. Тим більше в цьому окрузі будуть знаходитися всі наступні члени заданої спадної послідовності yn=1n. Відповідно до визначення це і означає, що limn→∞1n=0.

Для наочності побудуємо графік послідовності yn=1n, який складається із точок з абсцисами 1,2,3,4,..., лежачих на гілці гіперболи y=1x.

 

Так як limn→∞1n=0, то пряма y=0 є горизонтальною асимптотой графіка функції y=1x,x∈N.

Мордкович А.Г.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.