Властивості числових послідовностей

Теорія:

Числова послідовність - окремий випадок числової функції, тому деякі властивості функцій можна перенести і на послідовності.

Послідовність називається зростаючо, якщо для будь-якого n∈N  виконується нерівність an<an+1.

 

Последовательность называется спадною, якщо для будь-якого n∈N виконується нерівність an>an+1.

 

Зростаючі і спадні послідовності називаються монотонними.

1. Послідовність задана формулою an=nn+1, є монотонною, зростаючою, тому що різниця an+1−an=n+1n+2−nn+1=1(n+1)⋅(n+2)>0.

Приклад:

Тобто an<an+1.

2. Послідовність із спільним членом an=1+(−1)n не є монотонною, тому що aa1<a2,a2>a3.

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число M∈R, що an≤M. При цьому число M назівається верхньою межеюй послідовності.

 

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число m∈R, що an≥m. Число m називається нижньою межею послідовності.

Приклад:

1. Послідовність задана формулою an=n; (1,2,3,...,n,...) обмежена знизу, але не обмежена зверху.

2. Послідовність задана формулою an=(−1)nn;(−1,2,−3,4,...,(−1)nn,...) не обмежена ні зверху, ні знизу.

Послідовність називається обмеженою, якщо вона одночасно обмежена і зверху, і знизу.

Джерела:

Мордкович А.Г., Семенов П.В.Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень).-М: Мнемозина, 2009. - 429 с.