Перетворення рівняння в рівняння-наслідок

Теорія:

Проверка корней и потеря корней.

У ході рішення рівнянь, виконуючи різні перетворення, може вийти рівняння-наслідок. Це може статися, якщо застосувати одну з теорем 4, 5 або 6, не перевіривши виконання обмежень, закладених у формулюванні теореми.

Приклад:

Зведено в квадрат обидві частини рівняння x−1=3.

Отримаємо рівняння, розв'язавши яке, маємо у відповіді два кореня: 

(x−1)2=9x1=4,x2=−2

Другий корінь −2 є стороннім коренем рівняння x−1=3.

Причина його появи в тому, що по теоремі 5 обидві частини рівняння при зведенні його в один і той же парний степінь, повинні бути невід'ємні. Але відносно виразу x−1 стверджувати цього не можна.

У ході рішення рівнянь може відбутися розширення області визначення рівняння, якщо:

 

1) відбувається звільнення від знаменників, що містять змінну;

2) відбувається звільнення від знаків коренів парного ступеня;

3) відбувається звільнення від знаків логарифмів.

Зверни увагу!

При перетворенні вихідного рівняння в рівняння-наслідок, обов'язкова перевірка всіх знайдених коренів, щоб виявити сторонній корінь.

Перевірка необхідна, якщо:

 

1) відбулося розширення області визначення рівняння;

2) здійснювалося зведення обох частин рівняння в один і той же парний степінь;

3) виконувалося множення обох частин рівняння на один і той же вираз зі змінною (що має сенс у всій області визначення рівняння).

При рішенні рівнянь, замінюючи одне рівняння іншим, може як з'явитися сторонній корінь, так і загубитися якийсь корінь.

Втрата кореня може статися, якщо:

  

1) розділити обидві частини рівняння на один і той же вираз h(x) (крім тих випадків, коли точно відомо, що всюди в області визначення рівняння виконується умова h(x)≠0);

2) звуження ОДЗ в процесі рішення рівняння.

Приклад:

Розв'яжи рівняння

lgx2=4

 

Розв'яжемо рівняння двома способами:

↙↘x2=104;2lgx=4;x2=10000;lgx=2;x1=100,x=100x2=−100

 

Порівнюючи цих два способи, помічаємо, що при рішенні другим способом «загубився» корінь x=−100.

Причина тут — у неправильному застосуванні формули, яка звузила область визначення виразу, тобто замість правильної формули

lgx2=2lg∣∣x∣∣ (де область визначення x — будь-яке число, крім 0), ми скористалися неправильною формулою lgx2=2lgx, де область визначення x>0, тобто тільки позитивні числа. З області визначення «випав» відкритий промінь (−∞;0), де якраз і знаходиться «загублений» при другому способі вирішення корінь рівняння.

 

Тому, застосовуючи при рішенні рівняння яку-небудь формулу, необхідно, щоб в правій і лівій частині формули, ОДЗ змінної були б однаковими.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.