Заміна рівняння h(f(x))=h(g(x)) на рівняння f(x)=g(x)

Теорія:

Загальні методи рішення рівнянь.

1. Заміна рівняння h(f(x))=h(g(x)) рівнянням f(x)=g(x).

Цей метод застосовується при рішенні:

а) показникових рівнянь, коли від рівняння виду af(x)=ag(x)(a>0,a≠1) переходимо до рівняння f(x)=g(x);

б) логарифмічних рівнянь, коли від рівняння виду logaf(x)=logag(x)(a>0,a≠1) переходимо до рівняння f(x)=g(x);

в) ірраціональних рівнянь, коли від рівняння виду f(x)−−−−√n=g(x)−−−−√n переходимо до рівняння f(x)=g(x).

 

Зверни увагу!

Цей метод можна застосовувати тільки в тому випадку, коли y=h(x) — монотонна функція, яка кожне своє значення приймає по одному разу.

Приклад:

Розв'язати рівняння:

(2x+3)7=(5x−9)7

Так як функція y=x7 — зростаюча функція, то можна перейти до рівняння:

2x+3=5x−9

Розв'язавши його, отримаємо, що x=4.

 

Зверни увагу!

Якщо y=h(x) — немонотонна функція, то зазначений метод застосовувати не можна, так як можлива втрата коренів.

Наприклад, не можна замінити рівняння (2x+3)4=(5x−9)4 рівнянням виду 2x+3=5x−9, коренем якого є x=4.

При такому переході «загубився» корінь x=67

Причина в тому, що функція y=x4 — немонотонна функція.

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.