Класичне визначення імовірності

Теорія:

Основним поняттям теорії імовірностей є поняття випадкової події.

Випадковою подією називається подія, яка при здійсненні деяких умов може відбутися або не відбутися.

Наприклад, попадання в певний об'єкт чи промах при стрільбі по цьому об'єкту з даної гармати є випадковою подією.

Подія називається достовірною, якщо в результаті випробування воно обов'язково відбувається.

 

Неможливим називається подія, яка в результаті випробування відбутися не може.

КЛАСИЧНА ІМОВІРНІСНА СХЕМА

Для знаходження імовірності випадкової події A при проведенні деякого випробування слід:

1. знайти число N всіма можливими результатами даного випробування;

2. знайти кількість N(A) тих фіналів випробування, в яких настає подія A;

3. знайти частку N(A)N  воно і буде дорівнює імовірності події A

Приклад:

З колоди в 36 карт виймається одна карта. Яка ймовірність появи карти червової масті?
Рішення. Кількість елементарних фіналів (кількість карт) N=36. Подія A - Поява карти червової масті. Число випадків, сприяють появі події A, N(A)=9. Отже,P(A)=936=14=0,25

КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ІМОРІРНОСТІ

Імовірністю події A при проведенні деякого випробування називають відношення числа тих результатів, в результаті яких настає подія A, до загального числа всіх (равновозможних між собою) фіналів цього випробування.

У поданій нижче таблиці ми покажемо зв'язок між термінами теорії імовірностей і теорії множин.

Випробування з N наслідками	Множина з N елементів
Окремий результат випробування	Елемент множини
Випадкова подія	Підмножина
Неможлива подія	Порожня підмножина
Достовірна подія	Підмножина, що збігається з усією множиною
Імовірність події	Частка елементів підмножини серед всіх елементів множини

Випадкові події називаються несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть з'явитися разом.

Теорема 

 Якщо події A та B несумісні, то ймовірність того, що настане або A , або B, дорівнює P(A)+P(B).

Теорема

Для знаходження імовірності протилежної події треба від одиниці відняти ймовірність самої події: P(A)=1−P(A).

Але зустрічаються випробування і з нескінченною множиною фіналів. До них класична імовірнісна схема вже непридатна.

Сформулюємо загальне правило для знаходження геометричних імовірностей.

Якщо площу S(A) фігури A розділити на площу S(X) фігури X, яка цілком містить фігуру A, то вийде імовірність того, що точка, випадково обрана з фігури X, виявиться в фігурі A: P=S(A)S(X)

Аналогічно роблять і з множинами на числовій прямій, і з просторовими тілами. Але в цих випадках площі слід замінити або на довжину числових множин, або на обсяги просторових тіл.

Приклад:

В прямокутник 5×4 cm2 поміщено коло радіуса 1,5  cm. Яка імовірність того, що точка, випадковим чином поставлена в прямокутник, виявиться всередині кола?

 

Рішення: За визначенням геометричній імовірності шукана імовірність дорівнює відношенню площі круга (в яку точка повинна потрапити) до площі прямокутника (в якій точка ставиться), тобто P=SколаSпрямокутника=π⋅1,525⋅4=0,353

Джерела:

Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2010. —224 с. : ил.