Блог Басараби Марії Михайлівни: Губка Менгера

неділя, 14 лютого 2016 р.

Губка Менгера

5 ітерацій

На 6-й ітерації

Губка Менгера після 4-х ітерацій

Губка Менгера — геометричний фрактал, один з тривимірних аналогів килима Серпінського.

Побудова

Ітеративний метод

Куб

C_0

з ребром 1 ділять площинами, паралельними його граням, на 27 рівних кубів. З куба

C_0

видаляють центральний куб і всі прилеглі до нього по двовимірних гранях куби такого ж розміру. Лишається множина

C_1

, що складається з решти 20 замкнутих кубів «першого рангу». Вчинивши так само з кожним з кубів першого рангу, отримаємо множину

C_2

, що містить 400 кубів другого рангу. Продовжуючи цей процес нескінченно, одержимо нескінченну послідовність:

C_0\supset C_1\supset\dots\supset C_n\supset\dots

, перерізом членів якої є губка Менгера.

Метод хаосу

Задаються координати 20 точок-атракторів. Ними є 8 вершин і 12 середин ребер вихідного куба $C_0$ .
Ймовірнісний простір $(0; 1)$ розбивається на 20 рівних частин, кожна з яких відповідає одному атрактору.
Задається деяка початкова точка $P_0$ , що лежить всередині куба $C_0$ .
Початок циклу побудови точок, що належать множині губки Менгера.
1. Генерується випадкове число $n\in (0; 1)$ .
2. Активним атрактором стає той, на ймовірнісний підпростір якого випало згенероване число.
3. Будується точка $P_i$ з новими координатами: $x_i=\frac{x_{i-1}+2x_A}{3}; y_i=\frac{y_{i-1}+2y_A}{3}; z_i=\frac{z_{i-1} + 2z_A}{3}$ , де: $x_{i-1}, y_{i-1}, z_{i-1}$ – координати попередньої точки $P_{i-1}$ ; $x_A, y_A, z_A$ – координати активної точки-атрактора.
Повернення до початку циклу.

Губка Менгера складається з 20 однакових частин, коефіцієнт подібності 1/3.

Властивості

Кожна грань вихідного куба виглядає як килим Серпінського.
Губка Менгера має проміжну (тобто не цілу) хаусдорфову розмірність, яка дорівнює $\ln20/\ln3\approx 2,73$ оскільки вона складається з 20 рівних частин, кожна з яких подібна всій губці з коефіцієнтом подібності 1/3.
Губка Менгера має топологічну розмірність 1, більше того
- Губка Менгера топологічно характеризується як одновимірний зв'язний локально зв'язний метризований компакт, що не має точок локального розбиття (тобто для будь-якого зв'язного околу $U$ будь-якої точки $x\in M$ множина $U\backslash x$ зв'язна) і не має непорожніх відкритих і вкладених у площину підмножин.
Губка Менгера є універсальною кривою Урисона, тобто вона має таку властивість, що яка б не була крива Урисона $C$ , в губці Менгера знайдеться підмножина $C'$ , гомеоморфна $C$ .
Губка Менгера має нульовий об'єм, але нескінченну площу граней. Об'єм визначається формулою 20/27 на кожну ітерацію.