Алгебраїчне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Алгебраїчне рівня́ння, також алгебричне рівняння — рівняння виду

де Р — многочлен від змінних x₁, ..., x_n. Ці змінні називають невідомими.
Впорядкований набір чисел a₁, ..., a_n задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x₁ на a₁, x₂ на a₂ і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х² + у² = z², оскільки 3² +4² = 5²). Число, що задовольняє алгебричне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв’язків цього рівняння. Два алгебричні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв’язків, називаються рівносильними.
Степенем многочлена Р називається степінь рівняння Р(х₁, … , х_n) = 0. Наприклад, 3х — 5у + z = с — рівняння першого степеня, х² + у² = z² — другого степеня, а х⁴ — Зх³ + 1 = 0 — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними. Рівняння вищого степеня називають нелінійними. Алгебричне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв’язків алгебричного рівняння з великою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебричні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв’язків системи. Наприклад, множина розв’язків системи рівнянь

така: {(3; 1), (3;-1), (-3; 1), (-3; -1)}.

Розв'язки

Алгебричні рівняння з одним невідомим степеня завжди можна записати у вигляді . Формули для розв'язання алгебричних рівнянь 1-го ступеня і 2-го ступеня (квадратне рівняння) даються в елементарній алгебрі.
Відомі формули для розв'язання алгебричних рівнянь 3-го ступеня (кубічне рівняння) і 4-го ступеня. Для алгебричних рівнянь 5-го і вищих ступенів не існує загальної формули, яка б виражала корені через коефіцієнти рівняння за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і добування коренів (довів Н. Абель, поч. XIX століття).^[1]

Історія

Алгебричні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому Єгипті і давньому Вавилоні. Вавилонські переписувачі вміли розв'язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. За допомогою особливих таблиць вони розв'язували і деякі рівняння 3-го степеня, наприклад х³ + х = а.
У Стародавній Греції квадратні рівняння розв'язували за допомогою геометричних побудов. Грецький математик Діофант розробив методи розв'язку алгебричних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв'язав в раціональних числах рівняння х⁴ — у⁴ + z⁴ = n², систему рівнянь і т. д. (див. Діофантові рівняння).
Деякі геометричні задачі: подвоєння куба, трисекція кута, побудова правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини) — зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язку необхідно було відшукати точки перетину конічних перетинів (еліпсів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI ст. формула для розв'язку кубічного рівняння. Оскільки в той час від'ємні числа ще не отримали поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: х³ + рх = q, х³ + q = рх і т. д. Італійський математик С. дель-Феро (1465—1526) розв'язав рівняння х³ + рх = q і повідомив розв'язок своєму зятю і учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучку Н. Тарталью (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язку кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдена Тартальєю формула для розв'язання рівняння х³ + рх + q = 0

була опублікована не ним, а італійським ученим Дж. Кардано (1501—1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж Л. Феррарі (1522—1565), учень Кардано, знайшов розв'язок рівняння 4-го степеня.
Створення алгебричної символіки і узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII—XVIII ст. досліджувати загальні властивості алгебричних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості багаточленів від однієї і кількох змінних.
Одною з найважливіших задач теорії алгебричних рівнянь в XVII—XVIII ст. було відшукання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебристів зусиллями французького вченого XVIII ст. Ж. Лагранжа (1736—1813), італійського вченого П. Руффіні (1765—1822) і норвезького математика Н. Абеля наприкінці XVIII — на початку XIX ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження були завершено роботами Е. Галуа, теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, виражаються його корені в радикалах (див. Теорія Галуа). Ще до цього К. Ф. Гаус розв'язав проблему знаходження в квадратних радикалах коренів рівняння хⁿ — 1 = 0, до якого зводиться задача про побудові за допомогою циркуля і лінійки правильного n-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т. д. — така побудова можлива тоді, коли n — просте число виду чи добуток різних простих чисел такого виду.
Поряд з пошуком формул для розв'язку конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебричного рівняння. У XVIII ст. французький філософ і математик Ж. д'Аламбер довів, що будь-яке алгебричне рівняння ненульової степені з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, яку пізніше доповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степеня n розкладається на n лінійних множників.
В наш час теорія систем алгебричних рівнянь перетворилася в самостійну область математики — алгебричну геометрію. Вона вивчаються лінії, поверхні та многовиди вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.