Парність, непарність, періодичність тригонометричних функцій

Точки A і C отримані поворотом точки (1;0) на кути α і −α відповідно.

Одиничне коло.

 

Абсциси цих точок співпадають, а ординати відрізняються тільки знаками, тобто sin(−α)=−sinαиcos(−α)=cosα. 

Отже, функція y=sinx є непарною функцією, а y=cosx - парною функцією. Так як функція y=tgx=sinxcosx, то буде вірна рівність tg(−x)=−tgx, тобто функція y=tgx - непарна функція.

 

Функція y=f(x) називається періодичною, якщо існує таке число  T≠0, що для будь-якого x з області визначення цієї функції виконується рівність f(x−T)=f(x)=f(x+T)

 

Число T називається періодом функції  f(x)

З цього визначення випливає, що якщо x належить області визначення функції f(x), то числа x−T;x+T;x+Tn,n∈Z також належать області визначення цієї періодичної функції і f(x+Tn)=f(x),n∈Z.

 

Обертаючи точку A навколо центру одиничного кола в додатному або від'ємному напрямі, помічаємо що вона повернеться до вихідного положення, тільки кут повороту буде на 2πбільше або менше, але координати точки A залишаться тими ж, тобто

sinα=sin(α+2π);cosα=cos(α+2π) 

Отже, число 2π є найменшим додатним періодом для функцій y=sinx і y=cosx.

Число π є найменшим додатним періодом для функцій y=tgx, так як значення тангенса кута повороту буде повторюватися через π радіан.

 

 

Джерела:

Алімов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. та ін. Алгебра і початки аналізу: підр. для 10-11 кл. - М.: Просвіщення, 2007.