Рівняння кола і прямої

Теорія:

Рівняння кола

Використаємо два вже відомих факти і виведемо рівняння кола:

1. Усі точки кола знаходяться у даній відстані (радіус) від даної точки (центр);

 

2. Ми маємо формулу для розрахунку відстані між двома точками, якщо знаємо координати точок |AB|=(xA−xB)2+(yA−yB)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√, а якщо так, то квадрат відстані AB2=(xA−xB)2+(yA−yB)2.

 

Припустимо, що центр кола знаходиться в точці C(xC;yC), а радіус кола дорівнює R.

Будь-яка точка P(x;y) на цьому колі знаходиться на відстані R від центру C, значить справедлива рівність

(x−xC)2+(y−yC)2=R2.

Це і є рівняння кола з центром C і радіусом R. Координати всіх точок, які знаходяться на колі, задовольняють рівняння.

 

Якщо центр кола знаходиться на початку координат (0;0), то рівняння має вигляд

x2+y2=R2

Рівняння прямої

Для виведення рівняння прямої проведемо цю пряму як серединний перпендикуляр деякого відрізку з даними координатами кінцевих точок відрізка.

Відомо, що всі точки серединного перпендикуляра перебувають на рівних відстанях від кінців відрізка.

 

Координати кінців відрізка A(xA;yA) і B(xB;yB). Будь-яка точка P(x;y) знаходиться на рівних відстанях від кінцевих точок PA=PB, звичайно дорівнюють і квадрати відстаней PA2=PB2, значить справедлива рівність

(x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2, яке і є рівнянням прямої.

 

Після зведення виразів у дужках і зведення подібних доданків

x2−2⋅x⋅xA+(xA)2+y2−2⋅y⋅yA+(yA)2==x2−2⋅x⋅xB+(xB)2+y2−2⋅y⋅yB+(yB)22⋅x⋅xB−2⋅x⋅xA+2⋅y⋅yB−2⋅y⋅yA+(xA)2−(xB)2+(yA)2−(yB)2=0(2xB−2xA)⋅x+(2yB−2yA)⋅y+((xA)2−(xB)2+(yA)2−(yB)2)=0

 

рівняння буде в такому вигляді:

 

ax+by+c=0a=2(xB−xA)b=2(yB−yA)c=(xA)2−(xB)2+(yA)2−(yB)2

 

Розглянемо особливі прямі.

 

 

1. Пряма проходить через деяку точку на осі Ox з координатами A(xA;0).

Для будь-якої точки на цій прямій x=xA, це і є рівняння прямої.

Оскільки вісь Oy проходить через початок координат, то рівнянням вісі Oy є x=0.

2. Пряма проходить через деяку точку на осі \ (Oy \) з координатами B(0;yB).

Для будь-якої точки на цій прямій y=yB, це і є рівняння прямої.

Оскільки вісь Ox проходить через початок координат, то рівнянням осі Ox є y=0.

Джерела:

Л.С. Атанасян, Б.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, І.І. Юдіна. Геометрія 7 - 9 класи. Москва, "Просвещение", 2010.