Синус та косинус. Тангенс та котангенс.

Якщо точка M числовому колу відповідає числу t, то абсцису точки M називають косинусом числа t та позначають cost,

а ординату точки M називають синусом числа t та позначають sint.

 

Отже, якщо

тоді M(t)=M(x;y)x=costy=sint 

 

Звідси слідує, що −1≤cost≤1−1≤sint≤1 (див. рис.)

Відношення синуса числа t до косинуса того ж числа називають тангенсом числа t і позначають tgt.

Відношення косинуса числа t до синуса того ж числа називають котангенсом числа t і позначають ctgt.

Отримаємо, що: tgt=sintcost;ctgt=costsint

З рівняння числового кола x2+y2=1, замінюючи x і y на cost і sint, отримуємо рівність

 cos2t+sin2t=1

 

Відзначимо також кілька важливих властивостей синуса, косинуса, тангенса і котангенса:

Властивість 1. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(−t)=−sint;cos(−t)=cost;tg(−t)=−tgt;ctg(−t)=−ctgt.

 

Властивість 2. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(t+2πk)=sintcos(t+2πk)=cost

 

Властивість 3. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(t+π)=−sint;cos(t+π)=−cost;tg(t+π)=tgt;ctg(t+π)=ctgt.

 

Будуть вірні й такі рівності:

tg(t+πk)=tgt;ctg(t+πk)=ctgt.

 

Властивість 4. Для будь-якого значення t справедливі рівності:

sin(t+π2)=cost;cos(t+π2)=−sint.

 

Для синуса і косинуса є геометрична ілюстрація на числовому колі.

 

Дамо геометричну ілюстрацію для тангенса і котангенса.
Проведемо спочатку в координатній площині до числового кола дотичну в точці A.

Цю дотичну l будемо вважати числовою прямою, орієнтованою також як вісь y і з початком в точці A (див. рис.)

З подібності трикутників OMK і OPA слідує рівність:   MKOK=PAOA;sintcost=PA1   Тобто PA=tgt.

Отже, якщо числу t відповідає на числовому колі точка M, то, провівши пряму OM, отримаємо в перетині її з числовою прямою l точку P, яка має на числовій прямій l координату tgt.

Числову пряму l називають лінією тангенсів.

 

Аналогічно можнао ввести лінію котангенсів - числова пряма m з початком в точці B (див. рис.).

 

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.
У 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М .: Мнемозина, 2009.