Числове коло в координатній площині.

Розташуємо числове коло в координатної площини так, щоб центр кола зійшовся з початком координат, а його радіус приймаємо за одиничний відрізок.
Початкова точка числового кола A поєднана з точкою (1;0).

 

 

Кожна точка числового кола має в координатної площини свої координати.

 

Знайдемо спочатку координати тих точок координатної площини, які отримані на макетах числового кола.

ТочкаM(π4) середина I чверті. Опустимо перпендикуляр MP на пряму OA і розглянемо трикутник OMP. Оскільки дуга AM складає половину дуги ABто ∡MOP=45°    Отже, трикутник OMP - рівнобедрений прямокутний трикутник і OP=MP, тобто у точки M абсциса і ордината рівні: x=y.   Так як координати точки M(x;y) задовольняють рівняння числового кола x2+y2=1, то для їх знаходження потрібно вирішити систему рівнянь: {x2+y2=1x=y

 

Підставивши x замість y в перше рівняння системи, отримаємо наступне рішення:

 

x2+x2=12x2=1x2=12x=12√=2√2y=x=2√2

 

При вирішенні враховуємо, що абсциса точки M додатна.

Отримали, що координати точки M, яка відповідає числу π4, будуть   M(π4)=M(2√2;2√2)

Аналогічно можна отримати координати і інших точок першого макета числового кола, враховуючи тільки знаки координат в кожній чверті.
Отримані результати запишемо в таблицю:

Точка кола.

	0	π4	π2	3π4	π	5π4	3π2	7π4	2π
Абсциса x	1	2√2	0	−2√2	−1	−2√2	0	2√2	1
Ордината y	0	2√2	1	2√2	0	−2√2	−1	−2√2	0

 

Міркуємо аналогічно для точки M, якщо тепер вона відповідає числу π6.

 

Трикутник MOP прямокутний. Так як дуга AM складає третю частину дуги AB, то ∡MOP=30°.   Катет MP лежить проти кута 30 градусів в прямокутному трикутнику, значить, дорівнює половині гіпотенузи, тобто ордината точки M дорівнює  MP=12y=12

 

Абсцису x точки M знайдемо, розв'язавши рівняння:

 

x2+y2=1

x2=1−(12)2=1−14=34x=3√2

 

При розв'язанні враховуємо, що абсциса точки M додатна.

Отримали, що координати точки M, яка відповідає числу π6, будуть  M(π6)=M(3√2;12)  

Аналогічно можна отримати координати і інших точок другого макета числового кола, враховуючи тільки знаки координат в кожній чверті.
Отримані результати запишемо в таблицю:

Точка кола.

	π6	π3	2π3	5π6	7π6	4π3	5π3	11π6
Абсциса x	3√2	12	−12	−3√2	−3√2	−12	12	3√2
Ордината y	12	3√2	3√2	12	−12	−3√2	−3√2	−12

 

Джерела:

Мордкович А.Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 - 11 класи.

В 2 ч. Ч.1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів (базовий рівень). М.: Мнемозина, 2009.