Визначні точки трикутника

Теорія:

Теорема 1. Кожна точка бісектриси неразвёрнутого кута рівновіддалена від його сторін.

 

Теорема 2. ( зворотня) .Точка, що лежить всередині неразвёрнутого кута і рівновіддалених від його сторін, лежить на бісектрисі цього кута.

Теорема 3. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.

 

Теорема 4. (зворотня) Точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикуляре до нього.

Перша визначна точка трикутника — точка перетину бісектрис

Теорема 5. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

 

AN, BM — бісектриси, O — точка їх перетину.

Чи є бісектрисою CK? Якщо точка O рівновіддалена від сторін AB і AC та від сторін BA і BC, то вона лежить на бісектрисі кута ∡C,так як рівновіддалена від сторін кута.
Ця точка і є центр вписаного в трикутник кола, завжди знаходиться в трикутнику.

Друга визначна точка трикутника — точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника

Теорема 6. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

 

 

Припустимо, точка O — точка перетину двох серединних перпендикулярів сторін AB і BC. Вона рівновіддалена від точок A і B, і від точок B і C. Отже, вона лежить на серединному перпендикулярі сторони AC, так як рівновіддалена від її кінцевих точок.
Ця точка і є центр описаної навколо трикутника окружності, знаходиться в трикутниках з гострими кутами, поза трикутника з тупим кутом і на гіпотенузі прямокутного трикутника.

Третя визначна точка трикутника — точка перетину медіан

Теорема 7. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану у співвідношені 2: 1, рахуючи від вершини.

 

Точка перетину медіан є центром тяжіння трикутника.

Четверта визначна точка трикутника — точка перетину висот трикутника

Теорема 8. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

 

 

Точка перетину висот називається ортоцентром трикутника.

 

У 1765 році німецький математик Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр ваги і центр описаного кола лежать на одній прямій, названої пізніше прямою Ейлера.

 

 

У двадцятих роках XIX століття французькі математики Понселе, Бріаншона та інші встановили незалежно один від одного наступну теорему: основи медиан, основи висот і середини відрізків висот, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному й тому ж колі.